Seja S uma superfície parametrizada por
\varphi(u, v)=\left(u, v, 1-u^{2}\right), \quad \operatorname{com} 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq u
Determine o plano tangente a S no ponto \varphi\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada
\varphi(u,v)=\big(u,\;v,\;1-u^{2}\big), \qquad 0\le u\le1,\;0\le v\le u,
e pede: determinar o plano tangente a S no ponto \varphi\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parametrização fornece as coordenadas (x,y,z) em função de (u,v) por x=u,\;y=v,\;z=1-u^{2}.
  • O ponto parâtrico onde queremos o plano é \big(u_{0},v_{0}\big)=\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\big).
  • O que se pede: a equação do plano tangente à superfície nesse ponto (uma equação cartesiana do tipo linear em x,y,z, ou uma forma paramétrica).

Passo 2

Primeiro vamos achar as coordenadas do ponto em \mathbb{R}^{3} obtido pela parametrização em \big(u_{0},v_{0}\big)=\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\big).
Avaliar \varphi em \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\big):
\varphi\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right) = \Big(u_{0},\;v_{0},\;1-u_{0}^{2}\Big) = \Big(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{4},\;1-\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}\Big).
Calcular 1-\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}:
1-\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Portanto o ponto P onde queremos o plano é
P=\varphi\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=\Big(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{4},\;\tfrac{3}{4}\Big).

Passo 3

Ideia útil (explicação didática): a superfície parametrizada por \varphi(u,v) tem em cada ponto dois vetores tangentes obtidos pelas derivadas parciais \varphi_{u} e \varphi_{v}. Esses dois vetores geram o plano tangente (forma paramétrica). Uma forma prática para a equação cartesiana do plano é:
\text{(vetor normal)}\cdot\big((x,y,z)-P\big)=0,
onde o vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product)
\mathbf{n}=\varphi_{u}\times\varphi_{v}.
Vou calcular \varphi_{u}, \varphi_{v}, avaliá-los no ponto, obter \mathbf{n} e formar a equação.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de \varphi:
  • Derivando componente a componente em relação a u:
\varphi_{u}(u,v)=\left(\dfrac{\partial}{\partial u}u,\; \dfrac{\partial}{\partial u}v,\; \dfrac{\partial}{\partial u}\big(1-u^{2}\big)\right) =\big(1,\;0,\;-2u\big).
  • Derivando em relação a v:
\varphi_{v}(u,v)=\left(\dfrac{\partial}{\partial v}u,\; \dfrac{\partial}{\partial v}v,\; \dfrac{\partial}{\partial v}\big(1-u^{2}\big)\right) =\big(0,\;1,\;0\big).
Agora avalio em \big(u_{0},v_{0}\big)=\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\big):
\varphi_{u}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=\big(1,\;0,\;-2\cdot\tfrac{1}{2}\big)=\big(1,\;0,\;-1\big),
\varphi_{v}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=\big(0,\;1,\;0\big).
Interpretação: esses dois vetores são direções tangentes à superfície no ponto P.

Passo 5

Calcular o vetor normal \mathbf{n} como produto vetorial:
\mathbf{n} =\varphi_{u}\times\varphi_{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Expansão por cofactores (detalhando cada componente):
  • Componente x (coeficiente de \mathbf{i}):
\mathbf{i}\,(0\cdot0-(-1)\cdot1)=\mathbf{i}\cdot(0+1)=\mathbf{i}\cdot1.
  • Componente y (coeficiente de \mathbf{j}) com sinal negativo:
-\mathbf{j}\,(1\cdot0-(-1)\cdot0)=-\mathbf{j}\cdot(0-0)=\mathbf{j}\cdot0.
  • Componente z (coeficiente de \mathbf{k}):
\mathbf{k}\,(1\cdot1-0\cdot0)=\mathbf{k}\cdot1.
Logo
\mathbf{n}=(1,\;0,\;1).
Observação: o vetor normal pode mudar de sinal dependendo da ordem do cross product, mas qualquer múltiplo escalar de \mathbf{n} é também um normal válido para a equação do plano.

Passo 6

Formar a equação cartesiana do plano tangente usando \mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-P\big)=0. Escrevendo explicitamente:
(1,\;0,\;1)\cdot\Big(x-\tfrac{1}{2},\;y-\tfrac{1}{4},\;z-\tfrac{3}{4}\Big)=0.
Fazendo o produto escalar:
1\cdot\Big(x-\tfrac{1}{2}\Big)+0\cdot\Big(y-\tfrac{1}{4}\Big)+1\cdot\Big(z-\tfrac{3}{4}\Big)=0.
Simplificando:
x-\tfrac{1}{2}+z-\tfrac{3}{4}=0.
Somando as constantes:
x+z-\Big(\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}\Big)=0, \qquad \tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{2}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4}.
Portanto a equação é
x+z-\tfrac{5}{4}=0,
ou equivalentemente
x+z=\tfrac{5}{4}.

Passo 7

Forma paramétrica alternativa (útil na prova): o plano tangente pode ser escrito como toda combinação
\mathbf{r}(s,t)=P+s\,\varphi_{u}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)+t\,\varphi_{v}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right),
ou seja
\mathbf{r}(s,t)=\Big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\Big) +s\big(1,0,-1\big)+t\big(0,1,0\big),
com s,t\in\mathbb{R}. Essa forma mostra explicitamente que o plano é gerado por dois vetores tangentes no ponto P.

Passo 8

Verificações rápidas (confirmação de consistência):
  • Verificar que \mathbf{n} é ortogonal aos vetores tangentes:
\mathbf{n}\cdot\varphi_{u}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=(1,0,1)\cdot(1,0,-1)=1+0-1=0,
\mathbf{n}\cdot\varphi_{v}\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=(1,0,1)\cdot(0,1,0)=0.
  • Verificar que o ponto P satisfaz a equação:
x+z=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4},
logo P está no plano. Tudo consistente.

Resposta

x+z=\dfrac{5}{4}

Exercícios relacionados