Determine o limite nos seguintes exercícios.
\lim _{x \rightarrow-0,5^{-}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to-0,5^{-}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}}.
  • O ponto de aproximação é x\to-0,5^{-} (aproximação por valores menores que -0,5).

Passo 2

Verificar onde a função está definida e se há problema ao aproximar por valores à esquerda de -0,5.
Para a raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} ser real, é necessário que o quociente \dfrac{x+2}{x+1} seja \ge 0 e que o denominador x+1 seja diferente de zero.
Calcule os pontos críticos:
x+2=0 \Rightarrow x=-2,\qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1.
Entre esses pontos, o sinal do quociente pode mudar, então vamos ver o sinal para x próximos e menores que -0,5. Valores próximos e menores que -0,5 pertencem ao intervalo (-1,-0,5).
Para x\in(-1,-0,5) temos:
x+2>0\quad\text{(pois \(x>-2\))},\qquad x+1>0\quad\text{(pois \(x>-1\))}.
Logo \dfrac{x+2}{x+1}>0 nesse intervalo, então a expressão dentro da raiz é positiva e a função está bem definida para aproximação pela esquerda de -0,5.

Passo 3

Explicar por que podemos simplesmente substituir x=-0,5 para calcular o limite.
Fatos usados (explicados de forma simples):
  • Uma função racional \dfrac{x+2}{x+1} é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero.
  • A função raiz quadrada \sqrt{t} é contínua para t>0.
  • A composição de funções contínuas é contínua no ponto em que cada uma está bem definida.
Como para x próximo de -0,5 (pela esquerda) o quociente é positivo e o denominador não é zero, a função f(x)=\sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} é contínua em x=-0,5. Portanto o limite lateral coincide com o valor da função no ponto:
\lim_{x\to-0,5^{-}} f(x)=f(-0,5).

Passo 4

Calcular f(-0,5) passo a passo (usar frações facilita):
Escrever -0,5 como fração:
-0,5=-\tfrac{1}{2}.
Calcular numerador e denominador em x=-\tfrac{1}{2}:
x+2=-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{3}{2}, \qquad x+1=-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}.
Fazer o quociente:
\frac{x+2}{x+1}\Bigg|_{x=-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{2}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{1}=3.

Passo 5

Aplicar a raiz quadrada ao resultado:
f(-0,5)=\sqrt{3}.
Se quiser um número aproximado para intuição: \sqrt{3}\approx1,732\ldots.

Resposta

\sqrt{3}

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