Determine o limite nos seguintes exercícios. \lim _{x \rightarrow-0,5^{-}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to-0,5^{-}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}.
Informações dadas:
A função é f(x)=\sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}}.
O ponto de aproximação é x\to-0,5^{-} (aproximação por valores menores que -0,5).
Passo 2
Verificar onde a função está definida e se há problema ao aproximar por valores à esquerda de -0,5.
Para a raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} ser real, é necessário que o quociente \dfrac{x+2}{x+1} seja \ge 0 e que o denominador x+1 seja diferente de zero.
Entre esses pontos, o sinal do quociente pode mudar, então vamos ver o sinal para x próximos e menores que -0,5. Valores próximos e menores que -0,5 pertencem ao intervalo (-1,-0,5).
Logo \dfrac{x+2}{x+1}>0 nesse intervalo, então a expressão dentro da raiz é positiva e a função está bem definida para aproximação pela esquerda de -0,5.
Passo 3
Explicar por que podemos simplesmente substituir x=-0,5 para calcular o limite.
Fatos usados (explicados de forma simples):
Uma função racional \dfrac{x+2}{x+1} é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero.
A função raiz quadrada \sqrt{t} é contínua para t>0.
A composição de funções contínuas é contínua no ponto em que cada uma está bem definida.
Como para x próximo de -0,5 (pela esquerda) o quociente é positivo e o denominador não é zero, a função f(x)=\sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} é contínua em x=-0,5. Portanto o limite lateral coincide com o valor da função no ponto:
\lim_{x\to-0,5^{-}} f(x)=f(-0,5).
Passo 4
Calcular f(-0,5) passo a passo (usar frações facilita):
Escrever -0,5 como fração:
-0,5=-\tfrac{1}{2}.
Calcular numerador e denominador em x=-\tfrac{1}{2}: