e pergunta se f é contínua em 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para pontos à esquerda de 1 (incluindo 1) vale f(x)=2x.
Para pontos à direita de 1 vale f(x)=1.
A pergunta é: a função é contínua no ponto x=1?]
Passo 2
Lembrete do conceito (definição) que vamos usar: uma função f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Uma forma prática de verificar isto é checar as duas limites laterais: \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x). Se ambos existirem, forem iguais entre si e iguais a f(a), então f é contínua em a. Se as duas laterais forem diferentes, o limite bilateral não existe e a função não é contínua em a.
Passo 3
Calcular o valor da função em 1:
como a definição em peça usa 2x para x\leq 1, temos
f(1)=2\cdot 1=2.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda em 1:
para x<1 a função é f(x)=2x. A função linear 2x é contínua, então
Como as duas limites laterais são diferentes (2\neq 1), o limite bilateral \lim_{x\to 1} f(x) não existe. Portanto a condição \lim_{x\to 1} f(x)=f(1) falha, e a função não é contínua em 1.
Resposta
Não. A função não é contínua em 1, pois \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \lim_{x\to1^+}f(x)=1 (valores diferentes) e f(1)=2.