A função
f(x)= \begin{cases}2 x & \text { se } x \leq 1 \\\\ 1 & \text { se } x>1\end{cases}
é contínua em 1? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}2x & \text{se } x \leq 1,\\[4pt] 1 & \text{se } x>1,\end{cases}
e pergunta se f é contínua em 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para pontos à esquerda de 1 (incluindo 1) vale f(x)=2x.
  • Para pontos à direita de 1 vale f(x)=1.
  • A pergunta é: a função é contínua no ponto x=1?]

Passo 2

Lembrete do conceito (definição) que vamos usar: uma função f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Uma forma prática de verificar isto é checar as duas limites laterais: \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x). Se ambos existirem, forem iguais entre si e iguais a f(a), então f é contínua em a. Se as duas laterais forem diferentes, o limite bilateral não existe e a função não é contínua em a.

Passo 3

Calcular o valor da função em 1:
como a definição em peça usa 2x para x\leq 1, temos
f(1)=2\cdot 1=2.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda em 1:
para x<1 a função é f(x)=2x. A função linear 2x é contínua, então
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} 2x = 2\cdot 1 = 2.

Passo 5

Calcular o limite pela direita em 1:
para x>1 a função é constante f(x)=1. Logo
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} 1 = 1.

Passo 6

Comparar as duas limites e o valor da função:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=2,\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=1,\qquad f(1)=2.
Como as duas limites laterais são diferentes ( 2\neq 1), o limite bilateral \lim_{x\to 1} f(x) não existe. Portanto a condição \lim_{x\to 1} f(x)=f(1) falha, e a função não é contínua em 1.

Resposta

Não. A função não é contínua em 1, pois \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \lim_{x\to1^+}f(x)=1 (valores diferentes) e f(1)=2.

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