Seja S a superfície parte do plano x+y+z=a interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}. Mostre que a área de S é \sqrt{3} \pi a^{2} u.a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a área de uma superfície:
  • A superfície S é a parte do plano x+y+z=a que fica interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}.
  • O parâmetro a é uma constante positiva (assume-se a>0).
  • A pergunta é: calcular a área de S.
Resumo das informações relevantes:
  • Equação do plano: x+y+z=a.
  • Região no plano projetada no plano xy é o disco definido por x^{2}+y^{2}\le a^{2}.
  • Objetivo: encontrar \text{Área}(S)Á.

Passo 2

Escrever o plano como gráfico de uma função z=f(x,y) sobre o plano xy. Da equação do plano:
x+y+z=a \quad\Rightarrow\quad z=a-x-y.
Portanto definimos
f(x,y)=a-x-y.
A região de projeção D no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.

Passo 3

Apresentar a fórmula do elemento de área de uma superfície dada como gráfico z=f(x,y).
Se uma superfície é dada por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)) com (x,y) em D, então os vetores tangentes são
\mathbf{r}_x=(1,0,f_x),\qquad \mathbf{r}_y=(0,1,f_y),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. O elemento de área da superfície é o módulo do produto vetorial desses vetores:
dS = \bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\rVert\,dA.
Calculando o produto vetorial:
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (1,0,f_x)\times(0,1,f_y)=(-f_x,-f_y,1).
Logo
\bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\rVert = \sqrt{f_x^{2}+f_y^{2}+1}.
Portanto a fórmula prática (muito usada em provas) é
dS=\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy e f_x,f_y são as derivadas parciais. Explicando as variáveis:
  • f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x} é a inclinação da superfície na direção x.
  • f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y} é a inclinação da superfície na direção y.
  • dA é a pequena área projetada no plano xy.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=a-x-y:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(a-x-y)=-1,\qquad f_y=\frac{\partial}{\partial y}(a-x-y)=-1.
Substituindo na fórmula do elemento de área:
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Observação: o fator \sqrt{3} é constante sobre toda a região D, o que simplifica muito o cálculo da área.

Passo 5

Escrever a integral da área e calculá‑la. A área de S é
\text{Área}(S)=\iint_{D} \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dA = \iint_{D} \sqrt{3}\;dA = \sqrt{3}\iint_{D} dA.Á
A integral \iint_{D} dA é a área do disco de raio a. Calcula‑se em coordenadas polares:
\iint_{D} dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{a}d\theta = \int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}a^{2}\,d\theta = \tfrac{1}{2}a^{2}\cdot 2\pi = \pi a^{2}.

Passo 6

Combinar os resultados:
\text{Área}(S)=\sqrt{3}\cdot \pi a^{2}.Á
Breve checagem de plausibilidade: se f_x=f_y=0 (superfície horizontal), o fator seria \sqrt{1}=1 e a área da superfície coincide com a área da projeção; aqui o fator \sqrt{3}>1 indica que a superfície é inclinada e sua área é maior que a área do disco de projeção — faz sentido.

Resposta

\sqrt{3}\pi a^{2}

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