Seja
a superfície parte do plano
interior ao cilindro
. Mostre que a área de S é
u.a.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a área de uma superfície:
- A superfície
é a parte do plano que fica interior ao cilindro . - O parâmetro
é uma constante positiva (assume-se ). - A pergunta é: calcular a área de
.
Resumo das informações relevantes:
- Equação do plano:
. - Região no plano projetada no plano
é o disco definido por . - Objetivo: encontrar
.
Passo 2
Escrever o plano como gráfico de uma função
sobre o plano
. Da equação do plano:
Portanto definimos
A região de projeção
no plano
é o disco
Passo 3
Apresentar a fórmula do elemento de área de uma superfície dada como gráfico
.
Se uma superfície é dada por
com
em
, então os vetores tangentes são
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. O elemento de área da superfície é o módulo do produto vetorial desses vetores:
Calculando o produto vetorial:
Logo
Portanto a fórmula prática (muito usada em provas) é
onde
é o elemento de área no plano
e
são as derivadas parciais. Explicando as variáveis:
-
é a inclinação da superfície na direção . -
é a inclinação da superfície na direção . -
é a pequena área projetada no plano .
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo na fórmula do elemento de área:
Observação: o fator
é constante sobre toda a região
, o que simplifica muito o cálculo da área.
Passo 5
Escrever a integral da área e calculá‑la. A área de
é
A integral
é a área do disco de raio
. Calcula‑se em coordenadas polares:
Passo 6
Combinar os resultados:
Breve checagem de plausibilidade: se
(superfície horizontal), o fator seria
e a área da superfície coincide com a área da projeção; aqui o fator
indica que a superfície é inclinada e sua área é maior que a área do disco de projeção — faz sentido.