Seja a seguinte sequência abaixo
a_{n}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots\right), \text { com } n \in N(n \geq 1)
a) Identifique se a sequência numérica acima é uma progressão aritmética ou geométrica. JUSTIFIQUE!
b) Com base na resposta do item (a) qual seria a “lei de formação” dessa sequência? JUSTIFIQUE!
c) Qual seria valor do termo a_{10} ? JUSTIFIQUE.
d) Qual seria valor do termo a_{n} quando \boldsymbol{n} \rightarrow \infty ? JUSTIFIQUE.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A sequência é \displaystyle a_n=\bigl(1,\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18,\tfrac1{16},\ldots\bigr) com n\in\mathbb{N}, n\ge 1. Isso significa a_1=1, a_2=\tfrac12, a_3=\tfrac14, etc.
  • O enunciado pede:
    (a) identificar se a sequência é progressão aritmética ou geométrica e justificar;
    (b) dar a lei de formação (fórmula geral) da sequência e justificar;
    (c) calcular a_{10} e justificar;
    (d) calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n e justificar.

Passo 2

Definições úteis (explicadas de forma bem simples).
  • Progressão aritmética (PA): é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Em notação,
    \text{PA:}\qquad a_{n+1}-a_n=d\quad\text{para todo }n,
    onde d é a razão (diferença) da PA. Aqui a_n é o n-ésimo termo.
  • Progressão geométrica (PG): é uma sequência em que a razão entre termos consecutivos é constante. Em notação,
    \text{PG:}\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n}=r\quad\text{para todo }n,
    onde r é a razão (multiplicativa) da PG. Novamente a_n é o n-ésimo termo.
Essas são as duas propriedades fundamentais que vamos testar na sequência dada.

Passo 3

Teste se é PA: calcule as diferenças entre termos consecutivos.
  • a_2-a_1=\tfrac12-1=-\tfrac12.
  • a_3-a_2=\tfrac14-\tfrac12=-\tfrac14.
  • a_4-a_3=\tfrac18-\tfrac14=-\tfrac18.
As diferenças são -\tfrac12,\,-\tfrac14,\,-\tfrac18,\ldots que não são constantes. Logo a sequência NÃO é uma progressão aritmética.

Passo 4

Teste se é PG: calcule as razões entre termos consecutivos.
  • \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{\tfrac12}{1}=\tfrac12.
  • \dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{\tfrac14}{\tfrac12}=\tfrac12.
  • \dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{\tfrac18}{\tfrac14}=\tfrac12.
As razões são todas iguais a \tfrac12. Portanto a razão r é \tfrac12 e a sequência É uma progressão geométrica. Isso justifica a resposta do item (a).

Passo 5

Lei de formação de uma PG (explicação passo a passo).
  • A fórmula geral de uma progressão geométrica com primeiro termo a_1 e razão r é
    a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
    Justificativa rápida: a_2=a_1 r, a_3=a_2 r=a_1 r^2, e assim por diante; por iteração obtemos a_n=a_1 r^{n-1}.
  • No nosso caso, pegamos a_1=1 (dado) e r=\tfrac12 (computado no passo anterior). Substituindo:
    a_n = 1\cdot\left(\tfrac12\right)^{\,n-1}=\left(\tfrac12\right)^{\,n-1}.
    Outra forma equivalente é
    a_n = 2^{\,1-n}.
    Isso responde o item (b) e mostra como obter qualquer termo usando a fórmula.

Passo 6

Cálculo de a_{10} usando a lei de formação.
  • Use a fórmula \displaystyle a_n=\left(\tfrac12\right)^{\,n-1} e ponha n=10: a_{10}=\left(\tfrac12\right)^{9}.
  • Calcule a potência: \displaystyle 2^9=512. Assim a_{10}=\frac{1}{512}.Isso responde o item (c).

Passo 7

Limite quando n\to\infty (intuição e justificativa).
  • Para uma PG com razão r tal que |r|<1, temos r^{n-1}\to 0 quando n\to\infty. Intuição: multiplicar repetidamente por um número com valor absoluto menor que 1 faz os termos encolherem até ficar arbitrariamente próximos de zero.
  • No nosso caso r=\tfrac12 e |\tfrac12|<1. Portanto \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac12\right)^{\,n-1}=0.Isso responde o item (d).

Resposta

(a) \text{Progressão geométrica (PG)}ãé
(b) \displaystyle a_n = a_1 r^{\,n-1}=1\cdot\left(\tfrac12\right)^{\,n-1}=2^{\,1-n}
(c) \displaystyle a_{10}=\left(\tfrac12\right)^{9}=\tfrac{1}{512}
(d) \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0

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