Seja a seguinte sequência abaixo
a) Identifique se a sequência numérica acima é uma progressão aritmética ou geométrica. JUSTIFIQUE!
b) Com base na resposta do item (a) qual seria a “lei de formação” dessa sequência? JUSTIFIQUE!
c) Qual seria valor do termo
? JUSTIFIQUE.
d) Qual seria valor do termo
quando
? JUSTIFIQUE.
b) Com base na resposta do item (a) qual seria a “lei de formação” dessa sequência? JUSTIFIQUE!
c) Qual seria valor do termo
d) Qual seria valor do termo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A sequência é
com , . Isso significa , , , etc. - O enunciado pede:
(a) identificar se a sequência é progressão aritmética ou geométrica e justificar;
(b) dar a lei de formação (fórmula geral) da sequência e justificar;
(c) calculare justificar;
(d) calculare justificar.
Passo 2
Definições úteis (explicadas de forma bem simples).
-
Progressão aritmética (PA): é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Em notação,onde
é a razão (diferença) da PA. Aqui é o -ésimo termo. -
Progressão geométrica (PG): é uma sequência em que a razão entre termos consecutivos é constante. Em notação,onde
é a razão (multiplicativa) da PG. Novamente é o -ésimo termo.
Essas são as duas propriedades fundamentais que vamos testar na sequência dada.
Passo 3
Teste se é PA: calcule as diferenças entre termos consecutivos.
-
. -
. -
.
As diferenças são
que não são constantes. Logo a sequência NÃO é uma progressão aritmética.
Passo 4
Teste se é PG: calcule as razões entre termos consecutivos.
As razões são todas iguais a
. Portanto a razão
é
e a sequência É uma progressão geométrica. Isso justifica a resposta do item (a).
Passo 5
Lei de formação de uma PG (explicação passo a passo).
-
A fórmula geral de uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão é Justificativa rápida:, , e assim por diante; por iteração obtemos . -
No nosso caso, pegamos
(dado) e (computado no passo anterior). Substituindo: Outra forma equivalente éIsso responde o item (b) e mostra como obter qualquer termo usando a fórmula.
Passo 6
Cálculo de
usando a lei de formação.
- Use a fórmula
e ponha : - Calcule a potência:
. Assim Isso responde o item (c).
Passo 7
Limite quando
(intuição e justificativa).
- Para uma PG com razão
tal que , temos quando . Intuição: multiplicar repetidamente por um número com valor absoluto menor que faz os termos encolherem até ficar arbitrariamente próximos de zero. - No nosso caso
e . Portanto Isso responde o item (d).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)