Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A equação é válida para
. - Não há condição inicial — queremos a solução geral com constantes de integração.
O que se pede: encontrar a família de soluções
que satisfaz a equação para
.
Passo 2
Vamos usar a substituição sugerida: tomar a mudança de variável
e definir a função
Aqui
é a mesma solução vista no novo parâmetro
. A ideia é transformar a equação de Cauchy–Euler (dependente de potências de
) numa equação com coeficientes constantes em
, que é mais fácil de resolver. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Derivadas usando a regra da cadeia. Primeiro calcule
em termos de
e
. Como
com
, pela regra da cadeia:
Como
temos
. Denotando
, obtemos
Passo 4
Agora calcule
. Diferenciando
em relação a
e usando produto/regra da cadeia:
Temos
, e
. Substituindo:
Passo 5
Substitua
e
na equação original. A equação é
Colocando as expressões encontradas:
Simplificando termo a termo:
Portanto a substituição transformou a equação original numa equação diferencial linear com coeficientes constantes em
:
onde
é função de
.
Passo 6
Resolver a equação com coeficientes constantes. Assumimos solução da forma
. A equação característica é
Essa é
logo há raiz dupla
.
Para uma raiz dupla
, a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Voltar para a variável
. Lembrando que
e
, substituímos:
Como
, obtemos a solução em
:
Passo 8
Comentário final rápido e verificação mental: esta família tem duas constantes arbitrárias (boa: ordem 2 da ED) e é bem definida para
. Se quiser verificar, pode derivar
explicitamente e substituir na equação original para checar que os dois lados coincidem — o cálculo reproduz os passos inversos que fizemos.
Força aí — a solução é simples quando se lembra da transformação
!