Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}+y=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''+3t y'+y=0,\qquad t>0,
e pede a solução geral y(t).
Informações fornecidas:
  • A equação é válida para t>0.
  • Não há condição inicial — queremos a solução geral com constantes de integração.
O que se pede: encontrar a família de soluções y(t) que satisfaz a equação para t>0.

Passo 2

Vamos usar a substituição sugerida: tomar a mudança de variável
x=\ln t,
e definir a função
u(x)=y\big(e^{x}\big).
Aqui u é a mesma solução vista no novo parâmetro x. A ideia é transformar a equação de Cauchy–Euler (dependente de potências de t) numa equação com coeficientes constantes em x, que é mais fácil de resolver. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Derivadas usando a regra da cadeia. Primeiro calcule y' em termos de u e x. Como y(t)=u(x) com x=\ln t, pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dt}=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Como x=\ln t temos \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{t}. Denotando u'=\dfrac{du}{dx}, obtemos
y'=\frac{u'}{t}.

Passo 4

Agora calcule y''. Diferenciando y'=\dfrac{u'}{t} em relação a t e usando produto/regra da cadeia:
y''=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u'}{t}\right) =\frac{d}{dt}\!(u')\cdot\frac{1}{t} + u'\cdot\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}\right).
Temos \dfrac{d}{dt}(u') = \dfrac{d}{dx}(u')\cdot\dfrac{dx}{dt}=u''\cdot\frac{1}{t}, e \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{t}\right)=-\dfrac{1}{t^{2}}. Substituindo:
y''=\frac{1}{t}\cdot\frac{u''}{t} + u'\cdot\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) =\frac{u''-u'}{t^{2}}.

Passo 5

Substitua y' e y'' na equação original. A equação é
t^{2}y''+3t y'+y=0.
Colocando as expressões encontradas:
t^{2}\cdot\frac{u''-u'}{t^{2}} + 3t\cdot\frac{u'}{t} + u = 0.
Simplificando termo a termo:
u''-u' + 3u' + u = 0 \quad\Rightarrow\quad u'' + 2u' + u = 0.
Portanto a substituição transformou a equação original numa equação diferencial linear com coeficientes constantes em x:
u''+2u'+u=0,
onde u é função de x.

Passo 6

Resolver a equação com coeficientes constantes. Assumimos solução da forma u(x)=e^{rx}. A equação característica é
r^{2}+2r+1=0.
Essa é
(r+1)^{2}=0,
logo há raiz dupla r=-1.
Para uma raiz dupla r=-1, a solução geral é
u(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 7

Voltar para a variável t. Lembrando que x=\ln t e u(x)=y(t), substituímos:
y(t)=u(\ln t)=\big(C_{1}+C_{2}\ln t\big)e^{-\ln t}.
Como e^{-\ln t}=\dfrac{1}{t}, obtemos a solução em t:
y(t)=\frac{C_{1}+C_{2}\ln t}{t},\qquad t>0.

Passo 8

Comentário final rápido e verificação mental: esta família tem duas constantes arbitrárias (boa: ordem 2 da ED) e é bem definida para t>0. Se quiser verificar, pode derivar y explicitamente e substituir na equação original para checar que os dois lados coincidem — o cálculo reproduz os passos inversos que fizemos.
Força aí — a solução é simples quando se lembra da transformação x=\ln t!

Resposta

y(t)=\dfrac{C_{1}+C_{2}\ln t}{t}

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