Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
f(x)=\ln \left(2 x^{2}\right) \quad para x_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln\!\big(2x^{2}\big) e pede a expansão em série de Taylor centrada em x_{0}=1 até ordem 5 (ou seja, até o termo em (x-1)^{5}).
Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=\ln\!\big(2x^{2}\big).
  • Ponto de expansão: x_{0}=1.
  • Pedido: polinômio de Taylor de grau 5 (termos até (x-1)^{5}).

Passo 2

Observação / simplificação útil: escrever f de forma mais simples para expandir.
f(x)=\ln\!\big(2x^{2}\big)=\ln 2 + \ln\!\big(x^{2}\big)=\ln 2 + 2\ln x.
Assim basta fazer a expansão de \ln x em torno de x=1 e multiplicar por 2, somando \ln 2.
Para expandir \ln x em torno de 1 é conveniente usar a mudança x=1+u com u=x-1. Então precisamos da série de \ln(1+u) em potências de u.

Passo 3

Derivação da série conhecida de \ln(1+u) (didática):
A derivada é
\frac{d}{du}\ln(1+u)=\frac{1}{1+u}.
Para |u|<1 pode-se usar a série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}u^{k}.
Integrando termo a termo de 0 até u (e lembrando que \ln(1+0)=0) obtemos
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{u^{n}}{n},
válida para |u|<1. Esta é a série de Taylor de \ln(1+u) centrada em u=0.
Agora substituímos u=x-1 (lembre: isto corresponde a expandir em torno de x=1):
\ln x=\ln(1+(x-1))=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{(x-1)^{n}}{n}.

Passo 4

Multiplicar a série de \ln x por 2 e somar \ln 2 para recuperar f(x):
f(x)=\ln 2 + 2\ln x=\ln 2 + 2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n+1}\frac{(x-1)^{n}}{n}.
Retendo termos até n=5 (ordem 5) temos
\begin{aligned} f(x)&=\ln 2 + 2\Bigg(\frac{(x-1)}{1}-\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^{3}}{3}-\frac{(x-1)^{4}}{4}+\frac{(x-1)^{5}}{5}\Bigg)+\text{(termos de ordem }>5)\\[4pt] &=\ln 2 + 2(x-1) - (x-1)^{2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3} - \frac{1}{2}(x-1)^{4} + \frac{2}{5}(x-1)^{5} + \cdots \end{aligned}]

Passo 5

Verificação rápida (coisa de prova): o valor em x=1 f(1)=\ln 2, e o coeficiente do termo linear é f'(1)/1!. Aqui f'(x)=2/x logo f'(1)=2, que coincide com o coeficiente 2 do termo (x-1). Isso ajuda a confiar que a expansão está correta.
Observação sobre validade: a série utilizada para \ln(1+u) converge para |u|<1, isto é, a expansão vale para |x-1|<1. (Na prática em provas basta mencionar essa condição de convergência.)

Resposta

f(x)=\ln 2 + 2(x-1) - (x-1)^{2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3} - \frac{1}{2}(x-1)^{4} + \frac{2}{5}(x-1)^{5}

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