Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a expansão em série de Taylor centrada em
até ordem 5 (ou seja, até o termo em
).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Função:
. - Ponto de expansão:
. - Pedido: polinômio de Taylor de grau 5 (termos até
).
Passo 2
Observação / simplificação útil: escrever
de forma mais simples para expandir.
Assim basta fazer a expansão de
em torno de
e multiplicar por 2, somando
.
Para expandir
em torno de
é conveniente usar a mudança
com
. Então precisamos da série de
em potências de
.
Passo 3
Derivação da série conhecida de
(didática):
A derivada é
A derivada é
Para
pode-se usar a série geométrica
Integrando termo a termo de
até
(e lembrando que
) obtemos
válida para
. Esta é a série de Taylor de
centrada em
.
Agora substituímos
(lembre: isto corresponde a expandir em torno de
):
Passo 4
Multiplicar a série de
por
e somar
para recuperar
:
Retendo termos até
(ordem 5) temos
Passo 5
Verificação rápida (coisa de prova): o valor em
dá
, e o coeficiente do termo linear é
. Aqui
logo
, que coincide com o coeficiente
do termo
. Isso ajuda a confiar que a expansão está correta.
Observação sobre validade: a série utilizada para
converge para
, isto é, a expansão vale para
. (Na prática em provas basta mencionar essa condição de convergência.)