Seja a seguinte tabela referente à uma função
:
|
-0.4 | -0.2 | 0 | 0.2 | 0.4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0.67 | 0.82 | 1.00 | 1.22 | 1.49 |
a) Calcule
por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule usando polinômios de Lagrange de grau 3.
b) Calcule
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma tabela que mostra alguns valores de uma função
. O exercício pede para calcular valores de
em pontos que não estão na tabela usando técnicas de interpolação polinomial. Especificamente, vamos usar os métodos de Lagrange e Newton para encontrar os valores de
e
. Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar as fórmulas corretas passo a passo.
Passo 2
Parte a) Calcular
por interpolação linear de Lagrange.
Primeiro, a interpolação linear de Lagrange usa dois pontos próximos ao valor que queremos encontrar para estimar
. Olhando na tabela, os pontos mais próximos de
são
e
.
A fórmula de interpolação de Lagrange para dois pontos é:
Vamos chamar
,
,
, e
. Substituindo na fórmula:
Calculando as frações:
Passo 3
Parte b) Calcular
usando polinômio de Newton de grau 3.
O polinômio de Newton de grau 3 utiliza quatro pontos para interpolar. Vamos escolher os pontos
,
,
, e
com os respectivos valores de
.
Primeiro, construímos a tabela das diferenças divididas:
Agora, o polinômio de Newton é:
Substituindo os valores:
Agora, substituímos
:
Passo 4
Parte c) Calcular
usando polinômios de Lagrange de grau 3.
Nesse caso, vamos usar quatro pontos para construir o polinômio de Lagrange de grau 3. Vamos utilizar os pontos
,
,
, e
.
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 3 é:
Onde cada
é definido por:
Vamos calcular cada
:
- Para
, :
- Para
, :
- Para
, :
- Para
, :
Agora, aplicamos a fórmula do polinômio:
Resposta
a)
b)
c)