Seja a seguinte tabela referente à uma função f :
x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
f(x) 0.67 0.82 1.00 1.22 1.49
a) Calcule f(0.1) por interpolação linear de Lagrange.
b) Calcule f(0.1) usando polinômio de Newton de grau 3.
c) Calcule f(0.25) usando polinômios de Lagrange de grau 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma tabela que mostra alguns valores de uma função . O exercício pede para calcular valores de em pontos que não estão na tabela usando técnicas de interpolação polinomial. Especificamente, vamos usar os métodos de Lagrange e Newton para encontrar os valores de e . Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar as fórmulas corretas passo a passo.

Passo 2

Parte a) Calcular f(x) = f(x0) cdot x - x1x0 - x1 + f(x1) cdot x - x0x1 - x0 por interpolação linear de Lagrange.
Primeiro, a interpolação linear de Lagrange usa dois pontos próximos ao valor que queremos encontrar para estimar f(0.1) = 1.00 cdot 0.1 - 0.20 - 0.2 + 1.22 cdot 0.1 - 00.2 - 0 . Olhando na tabela, os pontos mais próximos de f(0.1) = 1.00 cdot -0.1-0.2 + 1.22 cdot 0.10.2 = 1.00 cdot 0.5 + 1.22 cdot 0.5 = 0.5 + 0.61 = 1.11 são e .
A fórmula de interpolação de Lagrange para dois pontos é:
Vamos chamar , , , e . Substituindo na fórmula:
Calculando as frações:

Passo 3

Parte b) Calcular c|c|c|c|c x & f(x) & De usando polinômio de Newton de grau 3.
O polinômio de Newton de grau 3 utiliza quatro pontos para interpolar. Vamos escolher os pontos P(x) = f(x0) + De, P(x) = 0.82 + 0.18(x + 0.2) + 0.04(x + 0.2)(x - 0) + 0.01(x + 0.2)(x - 0)(x - 0.2) , P(0.1) = 0.82 + 0.18(0.1 + 0.2) + 0.04(0.1 + 0.2)(0.1) + 0.01(0.1 + 0.2)(0.1)(0.1 - 0.2) , e P(0.1) = 0.82 + 0.18(0.3) + 0.04(0.3)(0.1) + 0.01(0.3)(0.1)(-0.1) com os respectivos valores de P(0.1) = 0.82 + 0.054 + 0.0012 - 0.0003 = 0.875 .
Primeiro, construímos a tabela das diferenças divididas:
Agora, o polinômio de Newton é:
Substituindo os valores:
Agora, substituímos :

Passo 4

Parte c) Calcular f(x) = sumi=0^3 f(xi) cdot Li(x) usando polinômios de Lagrange de grau 3.
Nesse caso, vamos usar quatro pontos para construir o polinômio de Lagrange de grau 3. Vamos utilizar os pontos Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^3 x - xjxi - xj , L0(0.25) = 0.25 - 0-0.2 - 0 cdot 0.25 - 0.2-0.2 - 0.2 cdot 0.25 - 0.4-0.2 - 0.4 = 0.25-0.2 cdot 0.05-0.4 cdot -0.15-0.6 = (-1.25) cdot (-0.125) cdot 0.25 = 0.0390625 , L1(0.25) = 0.25 - (-0.2)0 - (-0.2) cdot 0.25 - 0.20 - 0.2 cdot 0.25 - 0.40 - 0.4 = 0.450.2 cdot 0.05-0.2 cdot -0.15-0.4 = 2.25 cdot (-0.25) cdot 0.375 = -0.2109375 , e L2(0.25) = 0.25 - (-0.2)0.2 - (-0.2) cdot 0.25 - 00.2 - 0 cdot 0.25 - 0.40.2 - 0.4 = 0.450.4 cdot 0.250.2 cdot -0.15-0.2 = 1.125 cdot 1.25 cdot 0.75 = 1.0546875 .
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 3 é:
L3(0.25) = 0.25 - (-0.2)0.4 - (-0.2) cdot 0.25 - 00.4 - 0 cdot 0.25 - 0.20.4 - 0.2 = 0.450.6 cdot 0.250.4 cdot 0.050.2 = 0.75 cdot 0.625 cdot 0.25 = 0.1171875
Onde cada f(0.25) = f(-0.2) cdot L0(0.25) + f(0) cdot L1(0.25) + f(0.2) cdot L2(0.25) + f(0.4) cdot L3(0.25) é definido por:
f(0.25) = 0.82 cdot 0.0390625 + 1.00 cdot (-0.2109375) + 1.22 cdot 1.0546875 + 1.49 cdot 0.1171875
Vamos calcular cada f(0.25) = 0.03203125 - 0.2109375 + 1.287421875 + 0.174609375 = 1.283125 :
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
Agora, aplicamos a fórmula do polinômio:

Resposta

a)
b)
c)

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