Ache a fórmula fechada para o k-ésimo termo e prove por indução matemática.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. O objetivo aqui é encontrar uma fórmula fechada para o k-ésimo termo dessa sequência e provar que ela está correta usando indução matemática. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências recursivas e soma de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar como a sequência é definida:
l a0=0 a1=0 ak=ak-1+3^k(k-1), forall inteiros k >= 2
Nosso objetivo é achar uma expressão que nos dê diretamente o valor de ak sem precisar calcular todos os termos anteriores.
Passo 3
Vamos tentar expandir um pouco a definição recursiva para identificar um padrão. Para k >= 2,
ak = ak-1 + 3^k(k-1)
Podemos expandir isso:
ak = ak-1 + 3^k(k-1) ak = ak-2 + 3^k-1(k-2) + 3^k(k-1) vdots ak = a0 + sumi=2^k 3^i(i-1)
Como a0 = 0, temos:
ak = sumi=2^k 3^i(i-1)
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa soma. Vamos ajustar o índice para facilitar:
Percebemos que a fórmula não funciona para k=0 e k=1. Isso ocorre porque a nossa soma começou em i=2. Portanto, a fórmula fechada válida para k >= 2 é: