Ache a fórmula fechada para a soma e depois prove por indução para todo inteiro positivo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma fórmula fechada para a soma
e depois provar isso usando indução matemática. A matéria envolvida aqui é a de sequências e séries, principalmente soma de termos que seguem uma regra específica. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos de uma sequência linear e aplicar o princípio da indução para provar que nossa fórmula está correta para todo inteiro positivo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está dentro da soma:
. Isso significa que para cada
de 1 até
, a gente calcula
e soma tudo. Por exemplo, se
, teríamos:
Passo 3
Agora, vamos buscar uma fórmula fechada, ou seja, uma expressão que nos dê diretamente o resultado dessa soma sem precisar somar termo a termo. A sequência
é uma progressão aritmética, onde a diferença entre termos consecutivos é constante.
Passo 4
Sabemos que a soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
-
é a soma dos termos. -
é o primeiro termo. -
é o enésimo termo.
Passo 5
Vamos identificar
e
na nossa sequência
:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 6
Substituindo na fórmula da soma:
Então, a fórmula fechada para a soma é
.
Passo 7
Agora, vamos provar essa fórmula usando indução matemática. A indução tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 8
Base da Indução: Vamos verificar se a fórmula funciona para
.
Como
e
, a base da indução está correta.
Passo 9
Passo Indutivo: Suponha que a fórmula funciona para algum
, ou seja,
. Precisamos provar que isso implica que
.
Assim, se a fórmula funciona para
, também funciona para
.
Resposta
A fórmula fechada para a soma é
, e ela foi provada correta por indução matemática para todo inteiro positivo
.