Ache a fórmula fechada para a soma e depois prove por indução para todo inteiro positivo n
sumk=1^n(4 k-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma fórmula fechada para a soma sumk=1^n(4k - 2) e depois provar isso usando indução matemática. A matéria envolvida aqui é a de sequências e séries, principalmente soma de termos que seguem uma regra específica. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos de uma sequência linear e aplicar o princípio da indução para provar que nossa fórmula está correta para todo inteiro positivo n.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está dentro da soma: 4k - 2. Isso significa que para cada k de 1 até n, a gente calcula 4k - 2 e soma tudo. Por exemplo, se n = 3, teríamos:
(4 times 1 - 2) + (4 times 2 - 2) + (4 times 3 - 2) = 2 + 6 + 10 = 18

Passo 3

Agora, vamos buscar uma fórmula fechada, ou seja, uma expressão que nos dê diretamente o resultado dessa soma sem precisar somar termo a termo. A sequência 4k - 2 é uma progressão aritmética, onde a diferença entre termos consecutivos é constante.

Passo 4

Sabemos que a soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser calculada pela fórmula:
Sn = n2 times (a1 + an)
Onde:
  • Sn é a soma dos n termos.
  • a1 é o primeiro termo.
  • an é o enésimo termo.

Passo 5

Vamos identificar a1 e an na nossa sequência 4k - 2:
  • Quando k = 1, a1 = 4(1) - 2 = 2.
  • Quando k = n, an = 4n - 2.

Passo 6

Substituindo na fórmula da soma:
Sn = n2 times (2 + (4n - 2)) = n2 times (4n) = 2n^2
Então, a fórmula fechada para a soma é Sn = 2n^2.

Passo 7

Agora, vamos provar essa fórmula usando indução matemática. A indução tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 8

Base da Indução: Vamos verificar se a fórmula funciona para n = 1.
S1 = 4(1) - 2 = 2
2(1)^2 = 2
Como S1 = 2 e 2(1)^2 = 2, a base da indução está correta.

Passo 9

Passo Indutivo: Suponha que a fórmula funciona para algum k = m, ou seja, Sm = 2m^2. Precisamos provar que isso implica que Sm+1 = 2(m+1)^2.
Sm+1 = Sm + (4(m+1) - 2)
Sm+1 = 2m^2 + 4m + 2
Sm+1 = 2m^2 + 4m + 2 = 2(m^2 + 2m + 1) = 2(m+1)^2
Assim, se a fórmula funciona para m, também funciona para m+1.

Resposta

A fórmula fechada para a soma é Sn = 2n^2, e ela foi provada correta por indução matemática para todo inteiro positivo n.

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