Os números de Catalan são uma sequência definida pela seguinte relação de recorrência:
c0=1 e cn+1=sumk=0^n(ck cn-k)
Encontre os 6 primeiros termos de Catalan.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui são os números de Catalan, que fazem parte da combinatória. O problema pede para a gente encontrar os 6 primeiros termos dessa sequência usando a relação de recorrência que foi dada. Vamos precisar entender como essa recorrência funciona para calcular cada termo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, já sabemos que o primeiro termo da sequência, c0, é igual a 1. Isso é nosso ponto de partida.

Passo 3

Agora, para encontrar c1, usamos a relação cn+1 = sumk=0^n ck cdot cn-k. Como n = 0 nesse caso:
c1 = c0 cdot c0 = 1 cdot 1 = 1

Passo 4

Para c2, temos n = 1:
c2 = c0 cdot c1 + c1 cdot c0 = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 = 2

Passo 5

Vamos para c3 com n = 2:
c3 = c0 cdot c2 + c1 cdot c1 + c2 cdot c0 = 1 cdot 2 + 1 cdot 1 + 2 cdot 1 = 5

Passo 6

Agora, calculando c4 com n = 3:
c4 = c0 cdot c3 + c1 cdot c2 + c2 cdot c1 + c3 cdot c0 = 1 cdot 5 + 1 cdot 2 + 2 cdot 1 + 5 cdot 1 = 14

Passo 7

Finalmente, para c5 com n = 4:
c5 = c0 cdot c4 + c1 cdot c3 + c2 cdot c2 + c3 cdot c1 + c4 cdot c0 = 1 cdot 14 + 1 cdot 5 + 2 cdot 2 + 5 cdot 1 + 14 cdot 1 = 42

Resposta

Os 6 primeiros números de Catalan são:
c0 = 1, c1 = 1, c2 = 2, c3 = 5, c4 = 14, c5 = 42

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