Seja a sequência tal que
. Use o Método da indução para mostrar que
i) Mostre que
.
ii) Mostre que
é crescente.
Conclua que existe
tal que
e que
. Depois mostre que
.
i) Mostre que
ii) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência
,
e pede:
i) usar indução para mostrar que ;
ii) usar indução para mostrar que é crescente;
em seguida concluir pela monoticidade e pela regularidade que existe
e finalmente provar que .
e pede:
i) usar indução para mostrar que
ii) usar indução para mostrar que
em seguida concluir pela monoticidade e pela regularidade que existe
e finalmente provar que
Passo 2
Prova por indução de
:
Base : temos
, logo
.
Hipótese de indução: suponha .
Então
Base
Hipótese de indução: suponha
Então
logo
e
logo
Assim
, fechando a indução.
Passo 3
Prova por indução de que
:
Base :
Base
Hipótese de indução: suponha
.
Como a função é estritamente crescente em
, temos
Como a função
Logo
é crescente.
Passo 4
Pela parte i) a sequência é limitada superiormente por
, e pela parte ii) é crescente. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema de Monotonia), existe
e como todos os , segue
.
e como todos os
Passo 5
Tomando limites na relação de recorrência, obtemos
Elevando ao quadrado,
Como
, a única solução admissível é
.
Resposta
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