Seja a sequência tal que a_{1}=\sqrt{3}, a_{2}=\sqrt{3+2 a_{1}}, a_{3}=\sqrt{3+2 a_{2}}, a_{n+1}=\sqrt{3+2 a_{n}}. Use o Método da indução para mostrar que
i) Mostre que 1<a_{n} \leq 3.
ii) Mostre que a_{n} é crescente.
Conclua que existe a tal que a_{n} \rightarrow a e que a \geq 0. Depois mostre que a=3.

Passo 1

O enunciado define a sequência \displaystyle a_{1}=\sqrt{3}, \displaystyle a_{n+1}=\sqrt{3+2\,a_{n}}
e pede:
i) usar indução para mostrar que 1<a_{n}\le3;
ii) usar indução para mostrar que \{a_{n}\} é crescente;
em seguida concluir pela monoticidade e pela regularidade que existe \displaystyle a=\lim_{n\to\infty}a_{n}\ge0
e finalmente provar que a=3.

Passo 2

Prova por indução de 1<a_{n}\le3:
Base n=1: temos a_{1}=\sqrt{3}, logo 1<\sqrt{3}<2\le3.
Hipótese de indução: suponha 1<a_{n}\le3.
Então
3+2\,a_{n}>3+2\cdot1=5,
logo
a_{n+1}=\sqrt{3+2\,a_{n}}>\sqrt{5}>1,
e
3+2\,a_{n}\le3+2\cdot3=9,
logo
a_{n+1}=\sqrt{3+2\,a_{n}}\le \sqrt{9}=3.
Assim 1<a_{n+1}\le3, fechando a indução.

Passo 3

Prova por indução de que a_{n+1}>a_{n}:
Base n=1:
a_{2}=\sqrt{3+2\sqrt{3}}>\sqrt{3} = a_{1}.
Hipótese de indução: suponha a_{n+1}>a_{n}.
Como a função f(x)=\sqrt{3+2x} é estritamente crescente em [0,\infty), temos
a_{n+2}=f(a_{n+1})>f(a_{n})=a_{n+1}.
Logo \{a_{n}\} é crescente.

Passo 4

Pela parte i) a sequência é limitada superiormente por 3, e pela parte ii) é crescente. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema de Monotonia), existe \displaystyle a=\lim_{n\to\infty}a_{n}
e como todos os a_{n}>1, segue a\ge1>0.

Passo 5

Tomando limites na relação de recorrência, obtemos
a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1} =\lim_{n\to\infty}\sqrt{3+2\,a_{n}} =\sqrt{3+2\,a}.
Elevando ao quadrado,
a^{2}=3+2\,a \quad\Longrightarrow\quad a^{2}-2a-3=0 \quad\Longrightarrow\quad (a-3)(a+1)=0.
Como a\ge0, a única solução admissível é a=3.

Resposta

\displaystyle a_{n} é crescente e satisfaz 1<a_{n}\le3;
logo \displaystyle a_{n}\to3.

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