Sejam a_{n} e b_{n} sequências tais que \left|a_{n}-b_{n}\right| \leq e^{-n}. O que se pode dizer sobre o comportamento de ambas no infinito?
i) Verifique que se a_{n} \rightarrow a \in R então b_{n} \rightarrow a.
ii) O que ocorre se uma das sequências for para \infty ? Justifique. Sugestão: Lembre da desigualdade triangular.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências \{a_{n}\} e \{b_{n}\} tais que
\left|a_{n}-b_{n}\right|\le e^{-n}.
Pede-se:
Mostrar que se a_{n}\to a\in\mathbb{R} então b_{n}\to a.
Ver o que ocorre se uma das sequências tende a \infty (ou -\infty).
O conteúdo principal é usar a desigualdade triangular e limites.
Passo 2
Antes de qualquer coisa, observe que
\lim_{n\to\infty}e^{-n}=0.
Isto significa que a diferença \left|a_{n}-b_{n}\right| tende a zero conforme n\to\infty.
Passo 3
Prova de (i): suponha a_{n}\to a. Para mostrar b_{n}\to a, fixemos um \varepsilon>0.
Como a_{n}\to a, existe N_{1} tal que para todo n\ge N_{1}
\bigl|a_{n}-a\bigr|<\tfrac{\varepsilon}{2}.
Como e^{-n}\to0, existe N_{2} tal que para todo n\ge N_{2}