Seja
una série de números estritamente positivos e definamos
, como
. Mostre que
sempre diverge.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Dados:
para todo . Considera-se a série (que pode convergir ou divergir). - Define-se, para cada
,
- Pedido: mostrar que a série
diverge (isto é, não converge) independentemente do comportamento de .
Passo 2
Estratégia geral (sem calcular ainda): vamos tratar os dois casos possíveis para
:
-
converge (tem soma finita). -
diverge (vai ao infinito).
Em cada caso mostrarei que
diverge. Também usarei uma identidade útil para somas finitas (troca na ordem de somatório), que é totalmente válida aqui porque lidamos inicialmente com somas parciais finitas.
Passo 3
Primeiro caso: suponha que
converge. Seja
Como
para todo
, segue que
. Seja
a soma parcial; então
quando
.
Por definição,
. Como
e
, existe
tal que, para todo
,
Logo, para
,
Agora aplicamos o teste da comparação com a série harmônica: a série
é divergente (prova rápida: agrupe termos; por exemplo,
que diverge). Portanto a série
diverge. Como
para
, por comparação a cauda
diverge, e portanto a série inteira
diverge.
Conclusão do caso 1: se
converge, então
diverge (porque os
têm ordem assintótica de
com coeficiente positivo).
Passo 4
Segundo caso: suponha que
diverge (ou seja, as somas parciais
tendem a
).
Considere a soma parcial da série
até
:
Como são somas finitas, podemos trocar a ordem de somação (justificação: soma finita, termos bem definidos):
Para cada
tal que
temos
, portanto
No intervalo
há
termos (pelo menos
termos) e cada um satisfaz
. Assim
Logo, para
,
Substituindo na expressão para
,
Como
diverge, a soma parcial
quando
. Portanto
, isto é, as somas parciais de
tendem a infinito, e assim
diverge.
Conclusão do caso 2: se
diverge, então
também diverge.
Passo 5
Juntando os dois casos, mostrei que em qualquer situação — quer
convirja, quer diverge — a série
diverge. Portanto a afirmação pedida está provada.
Força aí — a ideia central para a prova curta é: cada
é média das primeiras
, logo se as
somam algo positivo a média tem ordem
(caso de soma finita); se as
somam infinito, então muitos desses
forçam a soma das médias a crescer sem limite.