Seja o sinal m(t) com função de autocorrelação dada por R_{X}(\tau)=\sin ^{2}(2 \pi B \tau), determine:
(a) ( 0,75 pontos) a equação e o gráfico da PSD de m(t).
(b) ( 0,5 pontos) potência do sinal m(t).
(c) ( 1 ponto) a equação e o gráfico da PSD do sinal s(t)=m(t) 2 \cos \left(2 \pi f_{c} t\right), com f_{c}>2 B.

Passo 1

O enunciado dá a autocorrelação do sinal m(t) como
R_{X}(\tau)=\sin^{2}\bigl(2\pi B\tau\bigr)
e pede em (a) a densidade espectral de potência (PSD) de m(t) e seu gráfico, em (b) a potência do sinal e em (c) a PSD do sinal modulado \displaystyle s(t)=m(t)\,2\cos\bigl(2\pi f_{c}t\bigr) com f_{c}>2B.
Para resolver usaremos:
  1. A identidade trigonométrica \sin^{2}x=\tfrac{1-\cos(2x)}{2}.
  2. A relação entre autocorrelação e PSD, isto é
S_{X}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R_{X}(\tau)\,e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau.
  1. A propriedade de modulação em frequência para PSD.

Passo 2

Transformamos primeiro R_{X}(\tau) usando
\sin^{2}\bigl(2\pi B\tau\bigr) =\frac{1-\cos\bigl(4\pi B\tau\bigr)}{2}.
Logo
R_{X}(\tau) =\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cos\bigl(4\pi B\tau\bigr).
A transformada de Fourier (no par \tau\leftrightarrow f) dá
\mathcal{F}\{1\}=\delta(f), \qquad \mathcal{F}\{\cos(4\pi B\tau)\} =\tfrac12\bigl[\delta(f-2B)+\delta(f+2B)\bigr].
Portanto a PSD de m(t) é
\boxed{ S_{X}(f) =\frac12\,\delta(f) -\frac14\bigl[\delta(f-2B)+\delta(f+2B)\bigr] }.

Passo 3

No gráfico de S_{X}(f) existem pulsações \delta em f=0 de amplitude +\tfrac12 e em f=\pm2B de amplitude -\tfrac14. Como não se sobrepõem, basta desenhar três espetros de linhas verticais nessas frequências com as alturas indicadas.

Passo 4

A potência média de m(t) é
P =R_{X}(0) =\sin^{2}(0) =0.
Logo
\boxed{P=0.}

Passo 5

Para s(t)=m(t)\,2\cos(2\pi f_{c}t) usamos que multiplicar por \cos desloca o espectro. Especificamente, como
2\cos(2\pi f_{c}t) =e^{j2\pi f_{c}t}+e^{-j2\pi f_{c}t},
temos
S_{s}(f) =S_{X}(f-f_{c})+S_{X}(f+f_{c}).
Substituindo S_{X}:
\begin{aligned} S_{s}(f) &=\Bigl[\tfrac12\,\delta(f-f_{c}) -\tfrac14\{\delta(f-f_{c}-2B)+\delta(f-f_{c}+2B)\}\Bigr]\\\ &\quad+\Bigl[\tfrac12\,\delta(f+f_{c}) -\tfrac14\{\delta(f+f_{c}-2B)+\delta(f+f_{c}+2B)\}\Bigr]. \end{aligned}

Passo 6

No gráfico de S_{s}(f) aparecem seis linhas:
  • em f=\pm f_{c} com amplitude +\tfrac12,
  • em f=f_{c}\pm2B e f=-f_{c}\pm2B com amplitude -\tfrac14.
    Como f_{c}>2B, não há sobreposição de linhas.

Resposta

(a)
S_{X}(f) =\frac12\,\delta(f) -\frac14\bigl[\delta(f-2B)+\delta(f+2B)\bigr].
Gráfico: linhas verticais em f=0 (altura +\tfrac12) e em f=\pm2B (altura -\tfrac14).
(b)
P=R_{X}(0)=\sin^{2}(0)=0.
(c)
\begin{aligned} S_{s}(f) &=S_{X}(f-f_{c})+S_{X}(f+f_{c})\\\ &=\tfrac12\bigl[\delta(f-f_{c})+\delta(f+f_{c})\bigr] -\tfrac14\bigl[\delta(f-f_{c}-2B)+\delta(f-f_{c}+2B)\\\ &\quad\;+\delta(f+f_{c}-2B)+\delta(f+f_{c}+2B)\bigr]. \end{aligned}
Gráfico: seis linhas, em f=\pm f_{c} (altura +\tfrac12) e em f=\pm f_{c}\pm2B (altura -\tfrac14).

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