Seja o sinal
com função de autocorrelação dada por
, determine:
(a) ( 0,75 pontos) a equação e o gráfico da PSD de
.
(b) ( 0,5 pontos) potência do sinal
.
(c) ( 1 ponto) a equação e o gráfico da PSD do sinal
, com
.
(a) ( 0,75 pontos) a equação e o gráfico da PSD de
(b) ( 0,5 pontos) potência do sinal
(c) ( 1 ponto) a equação e o gráfico da PSD do sinal
Passo 1
O enunciado dá a autocorrelação do sinal
como
e pede em (a) a densidade espectral de potência (PSD) de
e seu gráfico, em (b) a potência do sinal e em (c) a PSD do sinal modulado
com
.
Para resolver usaremos:
Para resolver usaremos:
- A identidade trigonométrica
. - A relação entre autocorrelação e PSD, isto é
- A propriedade de modulação em frequência para PSD.
Passo 2
Transformamos primeiro
usando
Logo
A transformada de Fourier (no par
) dá
Portanto a PSD de
é
Passo 3
No gráfico de
existem pulsações
em
de amplitude
e em
de amplitude
. Como não se sobrepõem, basta desenhar três espetros de linhas verticais nessas frequências com as alturas indicadas.
Passo 4
A potência média de
é
Logo
Passo 5
Para
usamos que multiplicar por
desloca o espectro. Especificamente, como
temos
Substituindo
:
Passo 6
No gráfico de
aparecem seis linhas:
- em
com amplitude , - em
e com amplitude .
Como, não há sobreposição de linhas.
Resposta
(a)
Gráfico: linhas verticais em
(altura
) e em
(altura
).
(b)
(c)
Gráfico: seis linhas, em
(altura
) e em
(altura
).