Determine o intervalo de valores de K para o qual os sistemas que possuem as equações características abaixo são estáveis
s^{5}+5 s^{4}+10 s^{3}+10 s^{2}+5 s+K=0

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
s^{5}+5s^{4}+10s^{3}+10s^{2}+5s+K=0
e pede para achar o intervalo de K em que todos os polos têm parte real negativa. Vamos usar o critério de Routh–Hurwitz, que exige todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh positivos.

Passo 2

Montamos as duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes do polinômio:
Linha s^5: 1,\;10,\;5
Linha s^4: 5,\;10,\;K

Passo 3

Calculamos a linha s^3 usando
a_{31}=\frac{5\cdot10-1\cdot10}{5}=8, \qquad a_{32}=\frac{5\cdot K-1\cdot0}{5}=K,
e a linha s^2 por
a_{21}=\frac{8\cdot10-5\cdot K}{8}=\frac{80-5K}{8}, \qquad a_{22}=\frac{8\cdot K-5\cdot0}{8}=K.

Passo 4

Para a linha s^1 temos
a_{11} =\frac{\bigl(\frac{80-5K}{8}\bigr)\cdot K-8\cdot K}{\frac{80-5K}{8}} =\frac{K\,(16-5K)}{80-5K},
e a linha s^0 é simplesmente K.

Passo 5

Pelo critério, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos:
  1. 1>0 — OK
  2. 5>0 — OK
  3. 8>0 — OK
  4. \displaystyle \frac{80-5K}{8}>0\implies 80-5K>0\implies K<16
  5. \displaystyle \frac{K\,(16-5K)}{80-5K}>0. Para K<16 o denominador é positivo, logo precisa K>0 e 16-5K>0\implies K<\tfrac{16}{5}.
  6. K>0.
Juntando tudo:
0<K<\frac{16}{5}.

Resposta

0<K<\tfrac{16}{5}

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