Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal. Efetue as seguintes operações e obtenha um limitante superior para o erro relativo no resultado por arredondamento, supondo que x, y e z estão exatamente representados:
Passo 1
O enunciado pede que eu efetue a operação
num sistema de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal, e que eu obtenha um limitante superior para o erro relativo no resultado por arredondamento, supondo que
,
e
estão exatamente representados. Informações relevantes dadas:
- Sistema de ponto flutuante: base
, precisão (número de dígitos) . - Arredondamento (presumimos arredondamento para o mais próximo — “round to nearest”).
-
e são exatamente representáveis no formato do sistema (logo não há erro de representação inicial).
A tarefa concreta: obter um limitante superior para, onde denota o resultado arredondado ao formato do sistema.
Passo 2
Explicando o que é importante saber sobre o sistema (passo-a-passo, didático).
- Em um sistema de ponto flutuante normalizado com base
e dígitos, um número é representado como
onde
é não nulo e cada
é um dígito entre
e
.
- Quando se faz uma operação (como soma), o resultado exato
pode não caber exatamente no formato de dígitos; então o sistema arredonda para o número representável mais próximo. - Para arredondamento para o mais próximo, existe uma constante chamada “unit roundoff” (erro unitário)
que limita o erro relativo de arredondamento: qualquer número real arredondado para satisfaz
Vou agora explicar como obter
.
Passo 3
Cálculo do unit roundoff
.
- A fórmula padrão para arredondamento para o mais próximo é
- Substituindo
e :
Interpretação: qualquer número que for arredondado ao formato de quatro dígitos decimais terá erro relativo, em módulo, no máximo
(isto é,
).
Passo 4
Aplicando o resultado à operação
.
- Os operandos
e são exatamente representáveis, então o único arredondamento possível na operação é o do resultado exato para . - Pelo fato geral do arredondamento para o mais próximo, vale
- Portanto um limitante superior para o erro relativo por arredondamento é
Passo 5
Observações importantes (para prova e intuição).
- Se
então a fração que define o erro relativo é indefinida (não faz sentido dividir por zero); nesse caso fala-se em erro absoluto em vez de erro relativo. - Mesmo quando
for muito pequeno (por exemplo, devido a cancelamento entre e ), a desigualdade acima continua válida: o erro relativo em relação à soma exata está limitado por . Contudo, se o objetivo for aproximar (ou ) em vez de , o cancelamento pode levar a perda de dígitos significativos — ou seja, o resultado pode ter pequeno valor exato e, portanto, uma única unidade de arredondamento pode representar grande fração dos algarismos significativos. Em provas, é bom mencionar esse fenômeno (catastrophic cancellation) se o contexto pedir.
Resposta
Se