Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal. Efetue as seguintes operações e obtenha um limitante superior para o erro relativo no resultado por arredondamento, supondo que x, y e z estão exatamente representados:
x+z

Passo 1

O enunciado pede que eu efetue a operação x+z num sistema de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal, e que eu obtenha um limitante superior para o erro relativo no resultado por arredondamento, supondo que x, y e z estão exatamente representados. Informações relevantes dadas:
  • Sistema de ponto flutuante: base \beta=10, precisão (número de dígitos) p=4.
  • Arredondamento (presumimos arredondamento para o mais próximo — “round to nearest”).
  • x e z são exatamente representáveis no formato do sistema (logo não há erro de representação inicial).
    A tarefa concreta: obter um limitante superior para \dfrac{|\mathrm{fl}(x+z)-(x+z)|}{|x+z|}, onde \mathrm{fl}(\cdot) denota o resultado arredondado ao formato do sistema.

Passo 2

Explicando o que é importante saber sobre o sistema (passo-a-passo, didático).
  • Em um sistema de ponto flutuante normalizado com base \beta e p dígitos, um número é representado como
\pm d_0.d_1d_2\ldots d_{p-1}\times \beta^{e},
onde d_0 é não nulo e cada d_i é um dígito entre 0 e \beta-1.
  • Quando se faz uma operação (como soma), o resultado exato s pode não caber exatamente no formato de p dígitos; então o sistema arredonda s para o número representável mais próximo.
  • Para arredondamento para o mais próximo, existe uma constante chamada “unit roundoff” (erro unitário) u que limita o erro relativo de arredondamento: qualquer número real s arredondado para \mathrm{fl}(s) satisfaz
\mathrm{fl}(s) = s(1+\delta),\qquad |\delta|\le u.
Vou agora explicar como obter u.

Passo 3

Cálculo do unit roundoff u.
  • A fórmula padrão para arredondamento para o mais próximo é
u = \tfrac{1}{2}\,\beta^{\,1-p}.
  • Substituindo \beta=10 e p=4:
u = \tfrac{1}{2}\cdot 10^{\,1-4} = \tfrac{1}{2}\cdot 10^{-3} = 5\cdot 10^{-4}.
Interpretação: qualquer número que for arredondado ao formato de quatro dígitos decimais terá erro relativo, em módulo, no máximo 5\cdot10^{-4} (isto é, 0,0005).

Passo 4

Aplicando o resultado à operação \,x+z.
  • Os operandos x e z são exatamente representáveis, então o único arredondamento possível na operação é o do resultado exato s=x+z para \mathrm{fl}(x+z).
  • Pelo fato geral do arredondamento para o mais próximo, vale
\mathrm{fl}(x+z) = (x+z)\,(1+\delta),\qquad |\delta|\le u.
  • Portanto um limitante superior para o erro relativo por arredondamento é
\frac{|\mathrm{fl}(x+z)-(x+z)|}{|x+z|} \le u = 5\cdot 10^{-4}.

Passo 5

Observações importantes (para prova e intuição).
  • Se (x+z)=0 então a fração que define o erro relativo é indefinida (não faz sentido dividir por zero); nesse caso fala-se em erro absoluto em vez de erro relativo.
  • Mesmo quando (x+z) for muito pequeno (por exemplo, devido a cancelamento entre x e z), a desigualdade acima continua válida: o erro relativo em relação à soma exata está limitado por u. Contudo, se o objetivo for aproximar x (ou z) em vez de x+z, o cancelamento pode levar a perda de dígitos significativos — ou seja, o resultado pode ter pequeno valor exato e, portanto, uma única unidade de arredondamento pode representar grande fração dos algarismos significativos. Em provas, é bom mencionar esse fenômeno (catastrophic cancellation) se o contexto pedir.

Resposta

\dfrac{|\mathrm{fl}(x+z)-(x+z)|}{|x+z|}\le 5\cdot 10^{-4}.
Se (x+z)=0 então o erro relativo é indefinido.

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