Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal. Efetue as seguintes operações e obtenha um limitante superior para o erro relativo no resultado por arredondamento, supondo que x, y e z estão exatamente representados:
x * y * z
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar bem claro para a gente não se perder):
Sistema de aritmética de ponto-flutuante com quatro dígitos na mantissa e base decimal.
As variáveis x, y e z são exatamente representadas no formato do sistema (ou seja, não há erro inicial de representação).
Pede-se: efetuar a operação x * y * z (multiplicação sequencial) e obter um limitante superior para o erro relativo no resultado devido ao arredondamento.
Passo 2
Definir a unidade de arredondamento (unit roundoff) do sistema: para base \beta e t dígitos, a unidade de arredondamento para arredondamento ao mais próximo é
u = \tfrac{1}{2}\,\beta^{1-t}.
Aqui \beta=10 e t=4. Portanto
u = \tfrac{1}{2}\,10^{1-4} = \tfrac{1}{2}\,10^{-3} = 5\cdot10^{-4}.
Passo 3
Apresentar o modelo padrão de erro de arredondamento para operações aritméticas: para qualquer operação binária exata a\\ \text{op}\\ b (op = +,−,×,/), o resultado arredondado pode ser modelado como
\operatorname{fl}(a\\ \text{op}\\ b) = (a\\ \text{op}\\ b)\,(1+\delta),
com algum \delta satisfazendo |\delta|\le u. Esse modelo diz: o resultado exato é multiplicado por um fator (1+\delta) com \delta pequeno.
Passo 4
Aplicar o modelo à primeira multiplicação x*y. Como x e y são exatamente representados, a multiplicação exata é xy e o valor armazenado após arredondamento será
s = \operatorname{fl}(x y) = xy\,(1+\delta_1),
onde |\delta_1|\le u.
Passo 5
Agora aplicar o modelo à segunda multiplicação, usando o resultado arredondado s multiplicado por z:
Interpretação final (curtinha e motivadora): isso significa que, se multiplicar x, depois multiplicar por z no sistema dado, o erro relativo máximo possível devido apenas ao arredondamento das duas multiplicações está limitado por 2u+u^2, que numericamente, para t=4 e base 10, é 0,00100025. É uma estimativa pessimista (limitante superior) — o erro real pode ser bem menor, mas nunca será maior que isso sob o modelo de arredondamento ao mais próximo.