1. Se a=0.1 e b=1.0, quantas iterações do método da bisseção seriam necessárias para determinar a raiz com um erro de no máximo \frac{1}{2} \times 10^{-8} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: quantas iterações do método da bisseção são necessárias para obter uma raiz com erro máximo igual a \dfrac{1}{2}\times10^{-8}.
  • Dados: intervalo inicial [a,b]=[0{,}1,\,1{,}0]. Ou seja, \;a=0{,}1\; e \;b=1{,}0\;.
  • Tolerância (erro máximo permitido): \varepsilon=\dfrac{1}{2}\times10^{-8}=5\times10^{-9}.

Passo 2

Entendendo a ideia e a fórmula que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • O método da bisseção começa com um intervalo [a,b] que contém a raiz. A cada iteração o intervalo que contém a raiz é dividido pela metade.
  • Se chamarmos L_0 o comprimento inicial do intervalo, então após N iterações o comprimento do intervalo é
L_N=\frac{L_0}{2^N}.
Aqui L_0=b-a.
  • Normalmente a aproximação da raiz é tomada como o ponto médio do intervalo atual. O erro máximo dessa aproximação (distância entre o ponto médio e a raiz verdadeira) é no máximo metade do comprimento do intervalo final. Portanto o erro após N iterações satisfaz
\text{erro}_N \le \frac{L_N}{2}=\frac{L_0}{2^{N+1}}.
  • Queremos garantir \text{erro}_N \le \varepsilon. Logo a condição que determina o número mínimo de iterações é
\frac{L_0}{2^{N+1}} \le \varepsilon.

Passo 3

Aplicando os valores do enunciado e resolvendo para N.
  • Primeiro calcule L_0:
L_0=b-a=1{,}0-0{,}1=0{,}9.
  • A condição \dfrac{L_0}{2^{N+1}}\le\varepsilon vira
2^{N+1}\ge\frac{L_0}{\varepsilon}=\frac{0{,}9}{5\times10^{-9}}.
  • Calcule a razão numérica:
\frac{0{,}9}{5\times10^{-9}}=\frac{9\times10^{-1}}{5\times10^{-9}}=\frac{9}{5}\times10^{8}=1{,}8\times10^{8}.
  • Tomando logaritmo em base 2 (explicando: para achar N usamos \log_2; se só tiver calculadora com \log_{10} ou \ln, usa-se \log_2(x)=\dfrac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)} ou \log_2(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(2)}):
N+1 \ge \log_2\!\left(1{,}8\times10^{8}\right).
  • Calculando numericamente (mostrando passos): primeiro \log_{10}\!(1{,}8\times10^{8})=\log_{10}(1{,}8)+8\approx0{,}255272505+8=8{,}255272505. Como \log_2(x)=\log_{10}(x)/\log_{10}(2) e \log_{10}(2)\approx0{,}301029995, obtemos
\log_2\!\left(1{,}8\times10^{8}\right)\approx\frac{8{,}255272505}{0{,}301029995}\approx27{,}4234.
  • Então
N+1 \ge 27{,}4234 \quad\Rightarrow\quad N \ge 26{,}4234.
  • Como N deve ser um número inteiro de iterações, tomamos o menor inteiro que satisfaz a desigualdade, isto é N=27.

Passo 4

Verificação rápida numérica (para ter segurança e aprender a checar):
  • Se N=27, o erro máximo é
\frac{L_0}{2^{N+1}}=\frac{0{,}9}{2^{28}}.
Como 2^{28}=268\,435\,456, temos
\frac{0{,}9}{2^{28}}\approx\frac{0{,}9}{2{,}68435456\times10^{8}}\approx3{,}35\times10^{-9},
que é menor que \varepsilon=5\times10^{-9}. Perfeito: satisfaz a condição.
  • Se N=26, o erro seria \dfrac{0{,}9}{2^{27}}\approx6{,}71\times10^{-9}>\varepsilon, logo 26 iterações não bastam. Assim 27 é o mínimo necessário.

Resposta

27

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