- Se
e
, quantas iterações do método da bisseção seriam necessárias para determinar a raiz com um erro de no máximo
?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: quantas iterações do método da bisseção são necessárias para obter uma raiz com erro máximo igual a
. - Dados: intervalo inicial
. Ou seja, e . - Tolerância (erro máximo permitido):
Passo 2
Entendendo a ideia e a fórmula que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
- O método da bisseção começa com um intervalo
que contém a raiz. A cada iteração o intervalo que contém a raiz é dividido pela metade. - Se chamarmos
o comprimento inicial do intervalo, então após iterações o comprimento do intervalo é
Aqui
.
- Normalmente a aproximação da raiz é tomada como o ponto médio do intervalo atual. O erro máximo dessa aproximação (distância entre o ponto médio e a raiz verdadeira) é no máximo metade do comprimento do intervalo final. Portanto o erro após
iterações satisfaz
- Queremos garantir
. Logo a condição que determina o número mínimo de iterações é
Passo 3
Aplicando os valores do enunciado e resolvendo para
.
- Primeiro calcule
:
- A condição
vira
- Calcule a razão numérica:
- Tomando logaritmo em base 2 (explicando: para achar
usamos ; se só tiver calculadora com ou , usa-se ou ):
- Calculando numericamente (mostrando passos): primeiro
. Como e , obtemos
- Então
- Como
deve ser um número inteiro de iterações, tomamos o menor inteiro que satisfaz a desigualdade, isto é .
Passo 4
Verificação rápida numérica (para ter segurança e aprender a checar):
- Se
, o erro máximo é
Como
, temos
que é menor que
. Perfeito: satisfaz a condição.
- Se
, o erro seria , logo iterações não bastam. Assim é o mínimo necessário.