Seja um sistema de controle feedback tal que:
\operatorname{Gu}(\mathrm{s})=\frac{0,09}{(2 \cdot \mathrm{~s}+1) \cdot(\mathrm{s}+1)} \quad \operatorname{Gv}(\mathrm{s})=\frac{1}{0,6 \cdot \mathrm{~s}+1}
Supondo, para simplificar os cálculos, que o sensor possui dinâmica desprezível, ou seja, \mathrm{Gm}=1, calcule o ajuste de um controlador P usando o método de Ziegler-Nichols.

Passo 1

O enunciado pede o ajuste de um controlador proporcional usando a regra de Ziegler–Nichols a partir de um laço aberto com
G_u(s)=\frac{0,09}{(2s+1)(s+1)},
G_v(s)=\frac{1}{0,6s+1},
e sensor G_m(s)=1.
Para usar Ziegler–Nichols precisamos encontrar o ganho último K_u e o período de oscilação T_u do laço P puro, isto é, resolver o critério de fase -180^\circ e depois calcular o módulo para obter K_u.

Passo 2

Formamos a função de laço aberto sem o ganho K:
L_0(s) = G_u(s) \cdot G_v(s) = \frac{0,09}{(2s+1)(s+1)(0,6s+1)}.
Procuramos a frequência \omega_u tal que
\angle L_0(j\omega_u) = -\bigl[\tan^{-1}(2\omega_u) + \tan^{-1}(\omega_u) + \tan^{-1}(0,6\omega_u)\bigr] = -180^\circ.
Por tentativa numérica obtemos
\omega_u \approx 1,73,rad/s, pois
\tan^{-1}(2 \times 1,73) + \tan^{-1}(1,73) + \tan^{-1}(0,6 \times 1,73) \approx 180^\circ.

Passo 3

Agora calculamos o módulo de L_0(j\omega_u):
|2j\omega_u+1|=\sqrt{(2\omega_u)^2+1}\approx3,60,
|j\omega_u+1|=\sqrt{\omega_u^2+1}\approx1,998,
|0,6j\omega_u+1|=\sqrt{(0,6\omega_u)^2+1}\approx1,442.
Logo
|L_0(j\omega_u)|=\frac{0,09}{3,60\cdot1,998\cdot1,442}\approx0,008665.
O ganho crítico é
K_u=\frac{1}{|L_0(j\omega_u)|}\approx115{,}4.

Passo 4

O período de oscilação crítica é
T_u=\frac{2\pi}{\omega_u}\approx\frac{2\pi}{1,73}\approx3{,}63\text{ s}.

Passo 5

Pela regra de Ziegler–Nichols para controlador P, escolhe-se
K_p=0{,}5\,K_u.
Assim
K_p=0{,}5\times115{,}4\approx57{,}7.

Resposta

O controlador proporcional recomendado é
C(s)=K_p\approx57{,}7.

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