Um estagiário verifica que um controle de vazão está sendo realizado por um controlador que, embora apresente os modos P, I e D, está sendo usado como um PI. O referido controlador foi ajustado pelo método de Ziegler e Nichols com \mathrm{Kc}=0,9 e \tau \mathrm{I}=0,9 \mathrm{~min}. Sabendo das vantagens da ação derivativa, o estagiário decide reajustar o controlador para um PID, pelo método de Ziegler e Nichols.
a) Para que valores de \mathrm{Kc}, \tau \mathrm{I} e \tau \mathrm{D} ele reajustaria o controlador?
b) Informado depois que no controle em questão há ruído de medida devido à vibração da bomba, o estagiário implementa a ação derivativa? Por quê?

Passo 1

O enunciado diz que um controlador está sendo usado como PI e foi ajustado pelo método de Ziegler–Nichols com
\mathrm{K_c}=0,9 e \tau_I=0,9\\ \text{min}. Agora queremos redesenhar esse mesmo controlador para PID pelo mesmo método. Para isso vamos:
  1. Recuperar a partir desses valores a frequência crítica ( P_u) e o ganho crítico ( K_u) usados no ajuste original como PI.
  2. Aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols para PID e calcular \mathrm{K_c}, \tau_I e \tau_D.
  3. Analisar se vale a pena implementar a ação derivativa em presença de ruído.

Passo 2

Nas regras de Ziegler–Nichols para ajuste em PI valem as fórmulas
\mathrm{K_c(PI)} = 0{,}45\,K_u, \quad \tau_I = \frac{P_u}{1{,}2}.
Aqui \mathrm{K_c(PI)}=0{,}9 e \tau_I=0{,}9\\ \text{min}.

Passo 3

Da primeira relação obtemos o ganho crítico
K_u = \frac{\mathrm{K_c(PI)}}{0{,}45} = \frac{0{,}9}{0{,}45} =2.
Da segunda obtemos o período crítico
P_u = 1{,}2\,\tau_I =1{,}2\times0{,}9 =1{,}08\\ \text{min}.

Passo 4

Para ajuste Ziegler–Nichols em PID usamos
\mathrm{K_c(PID)} = 0{,}6\,K_u, \quad \tau_I = 0{,}5\,P_u, \quad \tau_D = 0{,}125\,P_u.

Passo 5

Substituindo K_u=2 e P_u=1{,}08\\ \text{min}:
\mathrm{K_c(PID)} = 0{,}6 \times 2 = 1{,}2,
\tau_I = 0{,}5 \times 1{,}08 = 0{,}54\\ \text{min},
\tau_D = 0{,}125 \times 1{,}08 = 0{,}135\\ \text{min}.

Passo 6

A ação derivativa realça componentes de alta frequência, e como há ruído de medida (vibração da bomba), o derivativo amplificaria esse ruído, gerando oscilações e degradação do controle. Portanto não é aconselhável implementá-lo sem um bom filtro.

Resposta

a) \mathrm{K_c}=1{,}2, \tau_I=0{,}54\\ \text{min}, \tau_D=0{,}135\\ \text{min}.
b) Não. A ação derivativa realça o ruído de medida, o que prejudica a estabilidade e a qualidade do controle.

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