Considere os campos de forças dados por:
(i)
\vec{F}(\vec{r})=-\left(\frac{U_{0}}{a^{3}}\right)\left[\left(2 x y+y z+y^{2}\right) \hat{\imath}+\left(x^{2}+x z+2 x y+y^{2}\right) \hat{\jmath}+y z \hat{k}\right]
(ii)
\vec{F}(x, y)=\frac{U_{0} \pi}{2 a^{2}} \cos \left(\frac{\pi x y}{2 a^{2}}\right)(y \hat{\imath}+x \hat{\jmath})
então:
(a) Verifique se os campos de forças são conservativos (ou não) e encontre uma energia potencial, caso afirmativo.
(b) Calcule o trabalho das forças entre o ponto \vec{r}_{A}=0 e o ponto \vec{r}_{B}=a(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) através de um caminho determinado pelo arco de circunferência (no sentido do ponteiro do relógio) no plano x y dado por
(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • Campo (i): \vec{F}(\vec{r})=-\left(\frac{U_{0}}{a^{3}}\right)\big[(2xy+yz+y^{2})\hat{\imath}+(x^{2}+xz+2xy+y^{2})\hat{\jmath}+yz\hat{k}\big].
    • Campo (ii): \vec{F}(x,y)=\frac{U_{0}\pi}{2a^{2}}\cos\!\left(\frac{\pi xy}{2a^{2}}\right)\,(y\hat{\imath}+x\hat{\jmath}).
    • Caminho pedido no item (b): arco de circunferência no plano xy dado por (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}, do ponto \vec{r}_{A}=0 até \vec{r}_{B}=a(\hat{\imath}+\hat{\jmath}), no sentido horário (sentido do ponteiro do relógio).
  • O enunciado pede:
    (a) Para cada campo: verificar se é conservativo; se for, encontrar uma energia potencial (potencial escalar) cuja negativa dê o campo.
    (b) Calcular o trabalho realizado pelas forças ao ir de \vec{r}_{A} até \vec{r}_{B} ao longo do arco indicado.
Observações que vou usar mais adiante (não vou resolver ainda):
  • Um campo vetorial \vec{F} é conservativo em uma região simplesmente conexa se \nabla\times\vec{F}=0 (em 3D). Em 2D, para \vec{F}=(P,Q), condição equivalente: \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.
  • Se \vec{F}=-\nabla U para algum escalar U, então o trabalho de \vec{F} entre A e B é \displaystyle W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=U(A)-U(B) (independente do caminho).

Passo 2

Análise do campo (i): cálculo do rotacional para testar conservatividade em 3D.
  • Escrevo as componentes internas (retirando o fator constante):
    P=2xy+yz+y^{2},\qquad Q=x^{2}+xz+2xy+y^{2},\qquad R=yz.
    O fator multiplicativo é \kappa=-\dfrac{U_{0}}{a^{3}}, ou seja \vec{F}=\kappa(P,Q,R).
  • Lembro a fórmula do rotacional:
    \nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\hat{k}.
  • Calculo as derivadas parciais:
    \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (yz)}{\partial y}=z,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial (x^{2}+xz+2xy+y^{2})}{\partial z}=x,
    portanto a componente \hat{\imath} do rotacional vale z-x (multiplica-se por \kappa depois).
    \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial (2xy+yz+y^{2})}{\partial z}=y,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial (yz)}{\partial x}=0,
    então a componente \hat{\jmath} vale y.
    \frac{\partial Q}{\partial x}=2x+z+2y,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2x+z+2y,
    logo a componente \hat{k} é 0.
  • Assim
    \nabla\times\vec{F}=\kappa\big((z-x)\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+0\cdot\hat{k}\big).
  • Conclusão imediata: \nabla\times\vec{F} não é identicamente zero em \mathbb{R}^{3}, logo o campo (i) NÃO é conservativo em 3D (em geral). Isto responde parte de (a) para (i): não conservativo em todo o espaço 3D.

Passo 3

Apesar de (i) não ser conservativo em 3D, a curva do item (b) está no plano z=0. Verifico se a restrição de \vec{F} ao plano z=0 é conservativa (ou seja, se o campo 2D \vec{F}(x,y,0) tem rotacional vertical nulo).
  • Em z=0 as componentes ficam: P(x,y)=2xy+y^{2},\qquad Q(x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}.
  • Em 2D a condição de conservatividade (num domínio simplesmente conexo) é \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Calculo: \frac{\partial P}{\partial y}=2x+2y,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x+2y.São iguais, logo o campo restrito ao plano z=0 é conservativo (o plano inteiro é simplesmente conexo), portanto existe um potencial escalar U(x,y) tal que \vec{F}(x,y,0)=-\nabla U(x,y).

Passo 4

Encontro explicitamente a energia potencial para o campo (i) restrito a z=0.
  • Parto da relação \vec{F}=-\nabla U. Como \vec{F}=(F_x,F_y) com F_x=-\dfrac{U_{0}}{a^{3}}P e F_y=-\dfrac{U_{0}}{a^{3}}Q, temos
    \frac{\partial U}{\partial x}=-F_x=\frac{U_{0}}{a^{3}}P=\frac{U_{0}}{a^{3}}(2xy+y^{2}).
  • Integro em x:
    U(x,y)=\frac{U_{0}}{a^{3}}\int (2xy+y^{2})\,dx=\frac{U_{0}}{a^{3}}\big(x^{2}y+xy^{2}\big)+h(y),
    onde h(y) é função arbitrária de y.
  • Determino h(y) usando \partial U/\partial y=-F_y=\dfrac{U_{0}}{a^{3}}(x^{2}+2xy+y^{2}).
    Calculo a derivada encontrada:
    \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{U_{0}}{a^{3}}(x^{2}+2xy)+h'(y).
    Igualando:
    \frac{U_{0}}{a^{3}}(x^{2}+2xy)+h'(y)=\frac{U_{0}}{a^{3}}(x^{2}+2xy+y^{2}),
    logo h'(y)=\dfrac{U_{0}}{a^{3}}y^{2} e, integrando,
    h(y)=\frac{U_{0}}{a^{3}}\frac{y^{3}}{3}+C.
  • Portanto uma energia potencial válida (até constante) é
    U(x,y)=\frac{U_{0}}{a^{3}}\Big(x^{2}y+xy^{2}+\frac{y^{3}}{3}\Big)+C,
    e de fato \vec{F}(x,y,0)=-\nabla U(x,y).

Passo 5

Cálculo do trabalho para o campo (i) entre \vec{r}_{A}=0 e \vec{r}_{B}=a(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) ao longo do arco indicado (no plano z=0).
  • Como a restrição ao plano é conservativa, o trabalho independe do caminho e pode ser obtido pela diferença de potencial: W_{(i)}=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=U(A)-U(B).
  • Avalio U nos pontos (posso escolher C=0 para simplificar): U(0,0)=\frac{U_{0}}{a^{3}}\Big(0+0+0\Big)=0,
U(a,a)=\frac{U_{0}}{a^{3}}\Big(a^{2}\cdot a + a\cdot a^{2} + \frac{a^{3}}{3}\Big) =\frac{U_{0}}{a^{3}}\Big(2a^{3}+\frac{a^{3}}{3}\Big)=\frac{U_{0}}{a^{3}}\cdot\frac{7}{3}a^{3}=\frac{7}{3}U_{0}.
  • Assim W_{(i)}=U(0,0)-U(a,a)=0-\frac{7}{3}U_{0}=-\frac{7}{3}U_{0}.

Passo 6

Análise do campo (ii): verificar conservatividade e, se for o caso, determinar a energia potencial.
  • Identifico P(x,y)=\dfrac{U_{0}\pi}{2a^{2}}\,y\cos\!\left(\dfrac{\pi xy}{2a^{2}}\right) e Q(x,y)=\dfrac{U_{0}\pi}{2a^{2}}\,x\cos\!\left(\dfrac{\pi xy}{2a^{2}}\right).
  • Para verificar conservatividade em 2D calculo \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{U_{0}\pi}{2a^{2}}\Big(\cos\!\left(\frac{\pi xy}{2a^{2}}\right)+y\cdot\big(-\sin\!\left(\frac{\pi xy}{2a^{2}}\right)\big)\cdot\frac{\pi x}{2a^{2}}\Big),
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{U_{0}\pi}{2a^{2}}\Big(\cos\!\left(\frac{\pi xy}{2a^{2}}\right)+x\cdot\big(-\sin\!\left(\frac{\pi xy}{2a^{2}}\right)\big)\cdot\frac{\pi y}{2a^{2}}\Big).
As duas expressões são idênticas (os segundos termos são iguais porque são simétricos em x e y). Logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e o campo (ii) é conservativo no plano (região simplesmente conexa considerada).

Passo 7

Encontro a energia potencial para o campo (ii).
  • Faço \vec{F}=-\nabla U, ou seja \partial U/\partial x=-F_x. Escrevo constantes:
    c=\frac{U_{0}\pi}{2a^{2}},\qquad k=\frac{\pi}{2a^{2}}.
    Então F_x=c\,y\cos(kxy) (note que no enunciado há \vec{F}=c\cos(kxy)(y\hat{\imath}+x\hat{\jmath}), e F_x com sinal positivo ali; mas para a relação com U uso \partial U/\partial x=-F_x).
  • Integro:
    \frac{\partial U}{\partial x}=-c\,y\cos(kxy)\quad\Rightarrow\quad U(x,y)=-c\int y\cos(kxy)\,dx.
    Dentro da integral y é constante, então
    U(x,y)=-c\,y\cdot\frac{\sin(kxy)}{k y}+h(y)=-\frac{c}{k}\sin(kxy)+h(y).
    Observe que o y cancela.
  • Diferenciando em y e comparando com -F_y:
    \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{c}{k}\cos(kxy)\cdot(kx)+h'(y)=-c x\cos(kxy)+h'(y).
    Deve ser igual a -F_y=-c x\cos(kxy), portanto h'(y)=0 e h é constante. Assim podemos escolher a constante C e obter
    U(x,y)=-\frac{c}{k}\sin(kxy)+C.
  • Substituo c e k:
    \frac{c}{k}=\frac{\dfrac{U_{0}\pi}{2a^{2}}}{\dfrac{\pi}{2a^{2}}}=U_{0},
    portanto uma forma simples do potencial é
    U(x,y)=-U_{0}\sin\!\left(\frac{\pi xy}{2a^{2}}\right)+C.

Passo 8

Cálculo do trabalho para o campo (ii) entre \vec{r}_{A}=0 e \vec{r}_{B}=a(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) ao longo do arco indicado.
  • Como o campo é conservativo, o trabalho independe do caminho e vale a diferença de potencial: W_{(ii)}=U(A)-U(B).
  • Avalio (escolhendo C=0 para simplificar): U(0,0)=-U_{0}\sin(0)=0,\qquad U(a,a)=-U_{0}\sin\!\left(\frac{\pi a\cdot a}{2a^{2}}\right)=-U_{0}\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-U_{0}.
  • Então W_{(ii)}=U(0,0)-U(a,a)=0-(-U_{0})=U_{0}.

Resposta

(i) Não é conservativo em \mathbb{R}^{3} (pois \nabla\times\vec{F}\neq0). Porém a restrição ao plano z=0 é conservativa; um potencial na superfície z=0 é \displaystyle U(x,y)=\frac{U_{0}}{a^{3}}\Big(x^{2}y+xy^{2}+\frac{y^{3}}{3}\Big)+C. Trabalho ao longo do arco (de 0 a a(\hat{\imath}+\hat{\jmath})): \displaystyle W_{(i)}=-\frac{7}{3}U_{0}.
(ii) Conservativo (no plano) e um potencial é \displaystyle U(x,y)=-U_{0}\sin\!\left(\frac{\pi xy}{2a^{2}}\right)+C. Trabalho ao longo do arco (de 0 a a(\hat{\imath}+\hat{\jmath})): \displaystyle W_{(ii)}=U_{0}.

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