Considere os campos de forças dados por:
(i)
(ii)
então:
(a) Verifique se os campos de forças são conservativos (ou não) e encontre uma energia potencial, caso afirmativo.
(b) Calcule o trabalho das forças entre o ponto
e o ponto
através de um caminho determinado pelo arco de circunferência (no sentido do ponteiro do relógio) no plano
dado por
(i)
(a) Verifique se os campos de forças são conservativos (ou não) e encontre uma energia potencial, caso afirmativo.
(b) Calcule o trabalho das forças entre o ponto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
- Campo (i):
- Campo (ii):
- Caminho pedido no item (b): arco de circunferência no plano
dado por , do ponto até , no sentido horário (sentido do ponteiro do relógio).
- Campo (i):
-
O enunciado pede:
(a) Para cada campo: verificar se é conservativo; se for, encontrar uma energia potencial (potencial escalar) cuja negativa dê o campo.
(b) Calcular o trabalho realizado pelas forças ao ir deaté ao longo do arco indicado.
Observações que vou usar mais adiante (não vou resolver ainda):
- Um campo vetorial
é conservativo em uma região simplesmente conexa se (em 3D). Em 2D, para , condição equivalente: . - Se
para algum escalar , então o trabalho de entre e é (independente do caminho).
Passo 2
Análise do campo (i): cálculo do rotacional para testar conservatividade em 3D.
-
Escrevo as componentes internas (retirando o fator constante):O fator multiplicativo é
, ou seja . -
Lembro a fórmula do rotacional:
-
Calculo as derivadas parciais:portanto a componente
do rotacional vale (multiplica-se por depois). então a componentevale . logo a componenteé . -
Assim
-
Conclusão imediata:
não é identicamente zero em , logo o campo (i) NÃO é conservativo em 3D (em geral). Isto responde parte de (a) para (i): não conservativo em todo o espaço 3D.
Passo 3
Apesar de (i) não ser conservativo em 3D, a curva do item (b) está no plano
. Verifico se a restrição de
ao plano
é conservativa (ou seja, se o campo 2D
tem rotacional vertical nulo).
- Em
as componentes ficam: - Em 2D a condição de conservatividade (num domínio simplesmente conexo) é
. Calculo: São iguais, logo o campo restrito ao plano é conservativo (o plano inteiro é simplesmente conexo), portanto existe um potencial escalar tal que .
Passo 4
Encontro explicitamente a energia potencial para o campo (i) restrito a
.
-
Parto da relação
. Como com e , temos -
Integro em
: ondeé função arbitrária de . -
Determino
usando .
Calculo a derivada encontrada:Igualando:logoe, integrando, -
Portanto uma energia potencial válida (até constante) ée de fato
.
Passo 5
Cálculo do trabalho para o campo (i) entre
e
ao longo do arco indicado (no plano
).
- Como a restrição ao plano é conservativa, o trabalho independe do caminho e pode ser obtido pela diferença de potencial:
- Avalio
nos pontos (posso escolher para simplificar):
- Assim
Passo 6
Análise do campo (ii): verificar conservatividade e, se for o caso, determinar a energia potencial.
- Identifico
e . - Para verificar conservatividade em 2D calculo
As duas expressões são idênticas (os segundos termos são iguais porque são simétricos em
e
). Logo
e o campo (ii) é conservativo no plano (região simplesmente conexa considerada).
Passo 7
Encontro a energia potencial para o campo (ii).
-
Faço
, ou seja . Escrevo constantes: Então(note que no enunciado há , e com sinal positivo ali; mas para a relação com uso ). -
Integro:Dentro da integral
é constante, então Observe que ocancela. -
Diferenciando em
e comparando com : Deve ser igual a, portanto e é constante. Assim podemos escolher a constante e obter -
Substituo
e : portanto uma forma simples do potencial é
Passo 8
Cálculo do trabalho para o campo (ii) entre
e
ao longo do arco indicado.
- Como o campo é conservativo, o trabalho independe do caminho e vale a diferença de potencial:
- Avalio (escolhendo
para simplificar): - Então
Resposta
(i) Não é conservativo em
(pois
). Porém a restrição ao plano
é conservativa; um potencial na superfície
é
. Trabalho ao longo do arco (de
a
):
(ii) Conservativo (no plano) e um potencial é
. Trabalho ao longo do arco (de
a
):