Determine os valores de K para que o sistema acima satisfaça o critério de convergência de Sassenfeld.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} K x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1,\\[4pt] K x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=2, \end{cases}
e pede: determinar os valores de K tais que o sistema satisfaça o critério de convergência de Sassenfeld. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} K & 2 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 3\\[4pt] K & 2 & 6 \end{pmatrix}.
Devemos aplicar o critério de Sassenfeld usando as linhas na ordem dada (linha 1, linha 2, linha 3).
O critério envolverá divisões por elementos da diagonal, então é importante notar que, para aplicar diretamente nesta ordem, precisamos de a_{11}=K\neq 0. Vou explicar o que acontece se K=0 quando necessário.]
Passo 2
O que é o critério de Sassenfeld (explicação didática e fórmula).
Intuição: é um teste suficiente (não necessário) que garante convergência do método iterativo de Gauss–Seidel. Ele usa números \beta_i que medem o “peso” das entradas fora da diagonal, levando em conta já os \beta anteriores, porque Gauss–Seidel usa atualizações imediatas.
Fórmula prática (para as linhas na ordem dada): para cada i de 1 a n,
Aqui a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i, coluna j. O critério afirma: se \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer estimativa inicial.
Observação: cada \beta_i usa os \beta_j com j<i (essas são as contribuições já “atualizadas”), e para os j>i usamos apenas os valores absolutos dos coeficientes (porque essas incógnitas ainda não foram atualizadas nessa etapa do cálculo).
Passo 3
Aplicando a fórmula à linha 1 (cálculo de \beta_1).
As outras duas exigem apenas s>\tfrac{3}{2} e s>\tfrac{2}{3}, que são menos restritivas.
Logo a condição que garante todas simultaneamente é
s=|K|>3.
Observações de borda e casos especiais:
Se |K|=3 então \beta_1=1, o critério exige estritamente \beta_i<1, logo |K|=3 não satisfaz.
Se K=0 (ou seja s=0) não é possível aplicar diretamente o cálculo acima na ordem dada porque a_{11}=0 e dividiríamos por zero; nesse caso poderíamos tentar permutar linhas para aplicar Sassenfeld, mas isso foge da aplicação direta na ordem dada. Portanto, com a ordem dada a condição final é |K|>3.