Seja o sistema de equações lineares:
K x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0
x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1
K x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=2
Determine os valores de K para que o sistema acima satisfaça o critério de convergência de Sassenfeld.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} K x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1,\\[4pt] K x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=2, \end{cases}
e pede: determinar os valores de K tais que o sistema satisfaça o critério de convergência de Sassenfeld. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} K & 2 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 3\\[4pt] K & 2 & 6 \end{pmatrix}.
  • Devemos aplicar o critério de Sassenfeld usando as linhas na ordem dada (linha 1, linha 2, linha 3).
  • O critério envolverá divisões por elementos da diagonal, então é importante notar que, para aplicar diretamente nesta ordem, precisamos de a_{11}=K\neq 0. Vou explicar o que acontece se K=0 quando necessário.]

Passo 2

O que é o critério de Sassenfeld (explicação didática e fórmula).
  • Intuição: é um teste suficiente (não necessário) que garante convergência do método iterativo de Gauss–Seidel. Ele usa números \beta_i que medem o “peso” das entradas fora da diagonal, levando em conta já os \beta anteriores, porque Gauss–Seidel usa atualizações imediatas.
  • Fórmula prática (para as linhas na ordem dada): para cada i de 1 a n,
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\right).
Aqui a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i, coluna j. O critério afirma: se \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer estimativa inicial.
  • Observação: cada \beta_i usa os \beta_j com j<i (essas são as contribuições já “atualizadas”), e para os j>i usamos apenas os valores absolutos dos coeficientes (porque essas incógnitas ainda não foram atualizadas nessa etapa do cálculo).

Passo 3

Aplicando a fórmula à linha 1 (cálculo de \beta_1).
  • Na linha 1 temos a_{11}=K, a_{12}=2, a_{13}=1.
  • Como não há j<i para i=1, a fórmula fica
\beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\frac{|2|+|1|}{|K|}.
  • Simplificando,
\beta_1=\frac{3}{|K|}.
  • Observação importante: isso exige K\neq 0. Se K=0 não podemos calcular \beta_1 nessa ordem (divisão por zero). Vou tratar depois o caso K=0.

Passo 4

Calculando \beta_2 usando \beta_1.
  • Na linha 2 temos a_{21}=1, a_{22}=5, a_{23}=3.
  • Pela fórmula,
\beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1 + |a_{23}|}{|a_{22}|}=\frac{1\cdot\beta_1 + 3}{5}.
  • Substituindo \beta_1=\dfrac{3}{|K|},
\beta_2=\frac{\dfrac{3}{|K|} + 3}{5}=\frac{3\bigl(\dfrac{1}{|K|}+1\bigr)}{5}=\frac{3(1+|K|)}{5|K|}.

Passo 5

Calculando \beta_3 usando \beta_1 e \beta_2.
  • Na linha 3 temos a_{31}=K, a_{32}=2, a_{33}=6.
  • Pela fórmula,
\beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1 + |a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|}=\frac{|K|\beta_1 + 2\beta_2}{6}.
  • Substituímos \beta_1=\dfrac{3}{|K|} e \beta_2=\dfrac{3(1+|K|)}{5|K|}. Para abreviar, chamo s=|K|>0. Então:
\beta_1=\frac{3}{s},\qquad \beta_2=\frac{3(1+s)}{5s}.
  • Agora
\beta_3=\frac{s\cdot\frac{3}{s} + 2\cdot\frac{3(1+s)}{5s}}{6} =\frac{3 + \frac{6(1+s)}{5s}}{6}.
  • Colocando num denominador comum e simplificando:
\beta_3=\frac{21s+6}{30s}=\frac{7s+2}{10s}.

Passo 6

Resumo das fórmulas obtidas (em termos de s=|K|, com s>0)
\beta_1=\frac{3}{s},\qquad \beta_2=\frac{3(1+s)}{5s},\qquad \beta_3=\frac{7s+2}{10s}.
O critério de Sassenfeld exige \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}<1. Vamos resolver essas três desigualdades.

Passo 7

Resolver \beta_1<1:
\frac{3}{s}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 3<s \quad\Longleftrightarrow\quad s>3.

Passo 8

Resolver \beta_2<1:
\frac{3(1+s)}{5s}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 3(1+s)<5s \quad\Longleftrightarrow\quad 3+3s<5s
\Longleftrightarrow\quad 3<2s \quad\Longleftrightarrow\quad s>\tfrac{3}{2}.

Passo 9

Resolver \beta_3<1:
\frac{7s+2}{10s}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 7s+2<10s \quad\Longleftrightarrow\quad 2<3s
\Longleftrightarrow\quad s>\tfrac{2}{3}.

Passo 10

Combinação das três condições:
  • De \beta_1<1 temos s>3.
  • As outras duas exigem apenas s>\tfrac{3}{2} e s>\tfrac{2}{3}, que são menos restritivas.
  • Logo a condição que garante todas simultaneamente é
s=|K|>3.
  • Observações de borda e casos especiais:
    • Se |K|=3 então \beta_1=1, o critério exige estritamente \beta_i<1, logo |K|=3 não satisfaz.
    • Se K=0 (ou seja s=0) não é possível aplicar diretamente o cálculo acima na ordem dada porque a_{11}=0 e dividiríamos por zero; nesse caso poderíamos tentar permutar linhas para aplicar Sassenfeld, mas isso foge da aplicação direta na ordem dada. Portanto, com a ordem dada a condição final é |K|>3.

Resposta

K<-3\n
K>3

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