Quatro pessoas estão em uma fila para depositar dinheiro no banco. Cada uma irá depositar cem reais a mais que metade da soma dos depósitos dos seus vizinhos na fila (quem está no extremo da fila tem só um vizinho e os outros dois têm dois vizinhos).
a) Escreva na forma A x=b um sistema linear de ordem 4 para determinar qual o montante x_{i} que a i-ésima pessoa irá depositar (para i =1, \cdots, 4 ).
b) Resolva o sistema pelo método de eliminação de Gauss.
Passo 1
O enunciado dá uma fila de quatro pessoas e pede duas coisas:
(a) Escrever o sistema linear na forma A x = b para descobrir quanto cada pessoa i deposita, denotando por x_i o depósito da i-ésima pessoa, para i=1,\dots,4.
(b) Resolver esse sistema pelo método de eliminação de Gauss.
Informações relevantes fornecidas:
Cada pessoa deposita “cem reais a mais que metade da soma dos depósitos dos seus vizinhos”.
Pessoas nas extremidades têm apenas um vizinho; as duas do meio têm dois vizinhos.
Quantidades desconhecidas: \;x_1,x_2,x_3,x_4\; (os depósitos, em reais).
Passo 2
Vamos traduzir a frase “cada uma irá depositar cem reais a mais que metade da soma dos depósitos dos seus vizinhos” em equações para cada posição na fila.
Para a pessoa 1 (extremo esquerdo), o único vizinho é a pessoa 2, então
x_1 = 100 + \tfrac{1}{2}x_2.
Para a pessoa 2 (segunda da esquerda), vizinhos são 1 e 3:
x_2 = 100 + \tfrac{1}{2}(x_1 + x_3).
Para a pessoa 3 (terceira), vizinhos são 2 e 4:
x_3 = 100 + \tfrac{1}{2}(x_2 + x_4).
Para a pessoa 4 (extremo direito), vizinho é a pessoa 3:
x_4 = 100 + \tfrac{1}{2}x_3.
Essas quatro equações formam o sistema que precisamos escrever em forma matricial e resolver.
Passo 3
Colocando todas as incógnitas no mesmo lado (forma [A x = b)), subtraímos os termos do lado direito:
Para facilitar os cálculos de eliminação, multiplico cada equação por [2) para eliminar as frações. Isso dá um sistema equivalente com coeficientes inteiros:
Vou aplicar eliminação de Gauss para triangularizar essa matriz, usando operações do tipo R_j \leftarrow R_j + m R_i\]. Sempre que eu zerar uma entrada, explico o multiplicador \(m.]
Passo 5
Primeiro pivô: elemento 2 na posição (1,1). Zerar a entrada -1 na linha 2, coluna 1. O multiplicador é m = \tfrac{1}{2} porque -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 0. Faço
Segundo pivô: elemento \tfrac{3}{2} na posição (2,2). Zerar a entrada -1 na linha 3, coluna 2. Multiplicador m satisfaz -1 + m\cdot \tfrac{3}{2} = 0, logo m=\tfrac{2}{3}. Faço
Terceiro pivô: elemento \tfrac{4}{3} na posição (3,3). Zerar a entrada -1 na linha 4, coluna 3. Multiplicador m satisfaz -1 + m\cdot \tfrac{4}{3} = 0, logo m=\tfrac{3}{4}. Faço