Quatro pessoas estão em uma fila para depositar dinheiro no banco. Cada uma irá depositar cem reais a mais que metade da soma dos depósitos dos seus vizinhos na fila (quem está no extremo da fila tem só um vizinho e os outros dois têm dois vizinhos).
a) Escreva na forma A x=b um sistema linear de ordem 4 para determinar qual o montante x_{i} que a i-ésima pessoa irá depositar (para i =1, \cdots, 4 ).
b) Resolva o sistema pelo método de eliminação de Gauss.

Passo 1

O enunciado dá uma fila de quatro pessoas e pede duas coisas:
  1. (a) Escrever o sistema linear na forma A x = b para descobrir quanto cada pessoa i deposita, denotando por x_i o depósito da i-ésima pessoa, para i=1,\dots,4.
  2. (b) Resolver esse sistema pelo método de eliminação de Gauss.
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada pessoa deposita “cem reais a mais que metade da soma dos depósitos dos seus vizinhos”.
  • Pessoas nas extremidades têm apenas um vizinho; as duas do meio têm dois vizinhos.
  • Quantidades desconhecidas: \;x_1,x_2,x_3,x_4\; (os depósitos, em reais).

Passo 2

Vamos traduzir a frase “cada uma irá depositar cem reais a mais que metade da soma dos depósitos dos seus vizinhos” em equações para cada posição na fila.
  • Para a pessoa 1 (extremo esquerdo), o único vizinho é a pessoa 2, então
x_1 = 100 + \tfrac{1}{2}x_2.
  • Para a pessoa 2 (segunda da esquerda), vizinhos são 1 e 3:
x_2 = 100 + \tfrac{1}{2}(x_1 + x_3).
  • Para a pessoa 3 (terceira), vizinhos são 2 e 4:
x_3 = 100 + \tfrac{1}{2}(x_2 + x_4).
  • Para a pessoa 4 (extremo direito), vizinho é a pessoa 3:
x_4 = 100 + \tfrac{1}{2}x_3.
Essas quatro equações formam o sistema que precisamos escrever em forma matricial e resolver.

Passo 3

Colocando todas as incógnitas no mesmo lado (forma [A x = b)), subtraímos os termos do lado direito:
\begin{cases} x_1 - \tfrac{1}{2}x_2 = 100,\\[4pt] -\tfrac{1}{2}x_1 + x_2 - \tfrac{1}{2}x_3 = 100,\\[4pt] -\tfrac{1}{2}x_2 + x_3 - \tfrac{1}{2}x_4 = 100,\\[4pt] -\tfrac{1}{2}x_3 + x_4 = 100. \end{cases}
Em forma matricial \;A x = b\;\] com \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top temos
A = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}100\\[4pt]100\\[4pt]100\\[4pt]100\end{pmatrix}.
(Isto responde a parte (a).)]

Passo 4

Para facilitar os cálculos de eliminação, multiplico cada equação por [2) para eliminar as frações. Isso dá um sistema equivalente com coeficientes inteiros:
\begin{cases} 2x_1 - x_2 = 200,\\[4pt] - x_1 + 2x_2 - x_3 = 200,\\[4pt] - x_2 + 2x_3 - x_4 = 200,\\[4pt] - x_3 + 2x_4 = 200. \end{cases}
A matriz aumentada correspondente é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & -1 & 0 & 0 & 200\\[4pt] -1 & 2 & -1 & 0 & 200\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -1 & 200\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 & 200 \end{array}\right].
Vou aplicar eliminação de Gauss para triangularizar essa matriz, usando operações do tipo R_j \leftarrow R_j + m R_i\]. Sempre que eu zerar uma entrada, explico o multiplicador \(m.]

Passo 5

Primeiro pivô: elemento 2 na posição (1,1). Zerar a entrada -1 na linha 2, coluna 1. O multiplicador é m = \tfrac{1}{2} porque -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 0. Faço
R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_1.
Calculando entrada a entrada para R_2:
  • coluna 1: -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 0,
  • coluna 2: 2 + \tfrac{1}{2}\cdot(-1)=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2},
  • coluna 3: -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 0 = -1,
  • RHS: 200 + \tfrac{1}{2}\cdot 200 = 200+100 = 300.
Após essa operação a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & -1 & 0 & 0 & 200\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & -1 & 0 & 300\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -1 & 200\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 & 200 \end{array}\right].]

Passo 6

Segundo pivô: elemento \tfrac{3}{2} na posição (2,2). Zerar a entrada -1 na linha 3, coluna 2. Multiplicador m satisfaz -1 + m\cdot \tfrac{3}{2} = 0, logo m=\tfrac{2}{3}. Faço
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{2}{3}R_2.
Computando:
  • coluna 2: -1 + \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{3}{2} = -1 +1 =0,
  • coluna 3: 2 + \tfrac{2}{3}\cdot(-1)=2-\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3},
  • coluna 4: -1 + \tfrac{2}{3}\cdot 0 = -1,
  • RHS: 200 + \tfrac{2}{3}\cdot 300 = 200 + 200 = 400.
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & -1 & 0 & 0 & 200\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & -1 & 0 & 300\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & -1 & 400\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 & 200 \end{array}\right].]

Passo 7

Terceiro pivô: elemento \tfrac{4}{3} na posição (3,3). Zerar a entrada -1 na linha 4, coluna 3. Multiplicador m satisfaz -1 + m\cdot \tfrac{4}{3} = 0, logo m=\tfrac{3}{4}. Faço
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{3}{4}R_3.
Calculando:
  • coluna 3: -1 + \tfrac{3}{4}\cdot \tfrac{4}{3} = -1 +1 =0,
  • coluna 4: 2 + \tfrac{3}{4}\cdot(-1)=2-\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4},
  • RHS: 200 + \tfrac{3}{4}\cdot 400 = 200 + 300 = 500.
A matriz agora é triangular superior:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2 & -1 & 0 & 0 & 200\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & -1 & 0 & 300\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & -1 & 400\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{5}{4} & 500 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora fazemos substituição regressiva (back substitution) para obter as incógnitas:
  • Da última linha: \tfrac{5}{4}x_4 = 500. Então
x_4 = 500\cdot \tfrac{4}{5} = 100\cdot 4 = 400.
  • Da terceira linha: \tfrac{4}{3}x_3 - x_4 = 400. Substituindo x_4=400,
\tfrac{4}{3}x_3 - 400 = 400 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{4}{3}x_3 = 800 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 800\cdot \tfrac{3}{4} = 200\cdot 3 = 600.
  • Da segunda linha: \tfrac{3}{2}x_2 - x_3 = 300. Substituindo x_3=600,
\tfrac{3}{2}x_2 - 600 = 300 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{3}{2}x_2 = 900 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 900\cdot \tfrac{2}{3} = 300\cdot 2 = 600.
  • Da primeira linha: 2x_1 - x_2 = 200. Substituindo x_2=600,
2x_1 - 600 = 200 \quad\Rightarrow\quad 2x_1 = 800 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 400.
Portanto, a solução é x_1=400, x_2=600, x_3=600, x_4=400.

Passo 9

Rápida checagem nas equações originais com frações:
  • x_1 = 100 + \tfrac{1}{2}x_2 = 100 + \tfrac{1}{2}\cdot 600 = 100+300 = 400
  • x_2 = 100 + \tfrac{1}{2}(x_1+x_3) = 100 + \tfrac{1}{2}(400+600) = 100+500=600
  • similares para x_3 e x_4. Tudo confere.
Força aí — já está resolvido! Bora revisar esses passos com calma se quiser praticar mais.

Resposta

(a) \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}100\\[4pt]100\\[4pt]100\\[4pt]100\end{pmatrix}
(b) \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}400\\[4pt]600\\[4pt]600\\[4pt]400\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados