Achar a matriz de transformação de similaridade
dada por
para a questão anterior, tal que o sistema tenha uma nova representação em espaço de estados dada por:
tal que
é diagonal. Apresentar também as matrizes
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a matriz de transformação de similaridade
de modo que, na nova base, a matriz de estado
fique diagonal. Além disso, queremos expressar as demais matrizes do sistema discreto
Conteúdo envolvido:
- Espaço de estados e transformações de similaridade;
- Diagonalização de matrizes (autovalores e autovetores);
- Cálculo de
, , e atualização de .
Para seguir, precisamos dos dados originais
. Como não foram fornecidos numericamente, vamos mostrar o procedimento genérico passo a passo.
Passo 2
Calcular os autovalores de
.
- Escreve o polinômio característico:
. - Resolve para obter
.
Teoria: o determinante de
vira um polinômio em
. As raízes são os autovalores, que virarão as entradas da matriz diagonal
.
Passo 3
Para cada autovalor
, acha um autovetor
:
- Substitui
na equação acima. - Resolve o sistema linear homogêneo para
. - Normaliza se quiser (não é obrigatório, mas ajuda a manter escala).
Teoria: os autovetores formam a base em que
fica diagonal.
Passo 4
Monta a matriz
colocando cada autovetor como coluna:
Então,
Em seguida, as outras matrizes transformam-se assim:
Teoria: aplicar a mesma mudança de base preserva a forma do sistema, mas agora com
diagonal.
Passo 5
Verifica que tudo está consistente:
-
⇒ . - Substitui em
e mostra que vira
. - Idem para a saída
.
Resposta
– A matriz de transformação
é aquela cujas colunas são os autovetores de
.
– A nova matriz de estado diagonal é
.
– As demais matrizes são
– A nova matriz de estado diagonal é
– As demais matrizes são
Pronto! Com essas fórmulas você monta a forma canônica diagonal a partir de qualquer sistema no espaço de estados.