Achar a matriz de transformação de similaridade P dada por x=P z para a questão anterior, tal que o sistema tenha uma nova representação em espaço de estados dada por:
z((k+1) T)=Gz z(k T)+Hz u(k T) y(k T)=Cz z(k T)
tal que Gz é diagonal. Apresentar também as matrizes Gz, Hz, Cz e Dz.

Passo 1

O enunciado pede para achar a matriz de transformação de similaridade
x = P,z
de modo que, na nova base, a matriz de estado
Gz = P^-1,G,P
fique diagonal. Além disso, queremos expressar as demais matrizes do sistema discreto
z((k+1)T) = Gz,z(kT) + Hz,u(kT) y(kT) = Cz,z(kT) + Dz,u(kT)
Conteúdo envolvido:
  • Espaço de estados e transformações de similaridade;
  • Diagonalização de matrizes (autovalores e autovetores);
  • Cálculo de , , e atualização de .
Para seguir, precisamos dos dados originais . Como não foram fornecidos numericamente, vamos mostrar o procedimento genérico passo a passo.

Passo 2

Calcular os autovalores de .
  1. Escreve o polinômio característico:
    .
  2. Resolve para obter .
Teoria: o determinante de vira um polinômio em . As raízes são os autovalores, que virarão as entradas da matriz diagonal .

Passo 3

Para cada autovalor (G-lambdaiI),vi = 0 , acha um autovetor :
  1. Substitui na equação acima.
  2. Resolve o sistema linear homogêneo para .
  3. Normaliza se quiser (não é obrigatório, mas ajuda a manter escala).
Teoria: os autovetores formam a base em que fica diagonal.

Passo 4

Monta a matriz P = vline & vline & & vline v1 & v2 & cdots & vn hline colocando cada autovetor como coluna:
Então,
Gz = P^-1,G,P = diag(lambda1,lambda2,dots,lambdan)
Em seguida, as outras matrizes transformam-se assim:
Hz = P^-1,H, Cz = C,P, Dz = D
Teoria: aplicar a mesma mudança de base preserva a forma do sistema, mas agora com diagonal.

Passo 5

Verifica que tudo está consistente:
  1. .
  2. Substitui em
    e mostra que vira
    .
  3. Idem para a saída .

Resposta

– A matriz de transformação Hz = P^-1,H, Cz = C,P, Dz = D é aquela cujas colunas são os autovetores de .
– A nova matriz de estado diagonal é
.
– As demais matrizes são
Pronto! Com essas fórmulas você monta a forma canônica diagonal a partir de qualquer sistema no espaço de estados.

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