- Seja um sistema
representado pela equação diferencial
. Identifique a função de transferência do sistema e determine a componente de entrada nula
, considerando que a condição inicial não nula é yo
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
As perguntas são duas:
- Identificar a função de transferência do sistema (ou seja, a relação
com condições iniciais nulas). - Determinar a componente de entrada nula
, sabendo que a condição inicial não nula fornecida é .
Informações relevantes (que vamos usar mais adiante):
- A equação é de segunda ordem em
, portanto, em princípio, são necessárias duas condições iniciais para determinar totalmente a resposta natural: e . - O enunciado fornece apenas
; a derivada inicial não foi informada. Logo, qualquer expressão para dependerá de a menos que se faça uma suposição adicional.
Passo 2
Definição e ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace é uma técnica padrão para obter a função de transferência e para separar a resposta por entrada (zero-state) da resposta por condições iniciais (zero-input). Para derivadas de
valem as fórmulas (para
):
onde
. A função de transferência
é definida como
assumindo condições iniciais nulas (ou seja,
e
).
Passo 3
Calcular a função de transferência impondo condições iniciais nulas. Aplicando a transformada de Laplace à equação dada e anulando os termos iniciais, obtemos
Dividindo por
e por
resulta
Fatorando o denominador:
Essa é a função de transferência do sistema. (Interpretação rápida: ela dá a resposta em
-domínio por unidade de entrada considerando estado inicial nulo.)
Passo 4
Preparação para a componente de entrada nula
. A componente de entrada nula é a resposta do sistema quando
e as condições iniciais são as dadas. Vamos aplicar a transformada de Laplace à equação completa mantendo os termos de condição inicial, mas com
.
Aplicando as fórmulas das derivadas:
Somando os termos em
e os termos dependentes das condições iniciais:
pois
. Então
Fatorizando o lado direito:
Passo 5
Invertendo
para obter
. Denotando
e
por clareza, temos
Separar termos úteis:
A primeira parcela inverte como
(constante). Para a segunda parcela fazemos frações parciais:
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
e
. Assim
e
. Invertendo:
Somando com a primeira parcela:
Passo 6
Aplicar a condição inicial dada e comentar sobre a falta de
. O enunciado dá
, então
. Contudo
não foi informada no enunciado, e como este é um sistema de segunda ordem, a resposta natural depende de
. Portanto a expressão completa é
onde
é o valor inicial da derivada, não fornecido. Se for feita a suposição natural (quando não dada) de que a derivada inicial é nula, isto é
, então
Ambas as formas acima satisfazem
; a expressão geral permite qualquer
compatível com outras condições que porventura fossem fornecidas.
Resposta
Função de transferência:
Componente de entrada nula:
(Se for assumido
, então
.)