1. Seja um sistema \mathrm{LCI} \boldsymbol{\Gamma} representado pela equação diferencial \left(D^{2}+4 D\right) y(t)=(3 D+1) x(t). Identifique a função de transferência do sistema e determine a componente de entrada nula y o(t), considerando que a condição inicial não nula é yo (0)=6.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
\left(D^{2}+4D\right)y(t)=(3D+1)x(t).
As perguntas são duas:
  • Identificar a função de transferência do sistema (ou seja, a relação Y(s)/X(s) com condições iniciais nulas).
  • Determinar a componente de entrada nula y_o(t), sabendo que a condição inicial não nula fornecida é y_o(0)=6.
Informações relevantes (que vamos usar mais adiante):
  • A equação é de segunda ordem em y, portanto, em princípio, são necessárias duas condições iniciais para determinar totalmente a resposta natural: y(0) e y'(0).
  • O enunciado fornece apenas y_o(0)=6; a derivada inicial y'(0) não foi informada. Logo, qualquer expressão para y_o(t) dependerá de y'(0) a menos que se faça uma suposição adicional.

Passo 2

Definição e ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace é uma técnica padrão para obter a função de transferência e para separar a resposta por entrada (zero-state) da resposta por condições iniciais (zero-input). Para derivadas de y(t) valem as fórmulas (para t\ge0):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. A função de transferência H(s) é definida como
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}
assumindo condições iniciais nulas (ou seja, y(0)=0 e y'(0)=0).

Passo 3

Calcular a função de transferência impondo condições iniciais nulas. Aplicando a transformada de Laplace à equação dada e anulando os termos iniciais, obtemos
\bigl(s^{2}+4s\bigr)Y(s)=(3s+1)X(s).
Dividindo por X(s) e por (s^{2}+4s) resulta
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{3s+1}{s^{2}+4s}.
Fatorando o denominador:
H(s)=\frac{3s+1}{s(s+4)}.
Essa é a função de transferência do sistema. (Interpretação rápida: ela dá a resposta em s-domínio por unidade de entrada considerando estado inicial nulo.)

Passo 4

Preparação para a componente de entrada nula y_o(t). A componente de entrada nula é a resposta do sistema quando x(t)=0 e as condições iniciais são as dadas. Vamos aplicar a transformada de Laplace à equação completa mantendo os termos de condição inicial, mas com X(s)=0.
Aplicando as fórmulas das derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}+\;4\mathcal{L}\{y'\}=(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0))+4\bigl(sY(s)-y(0)\bigr).
Somando os termos em Y(s) e os termos dependentes das condições iniciais:
\bigl(s^{2}+4s\bigr)Y(s)-\bigl[s\,y(0)+y'(0)+4\,y(0)\bigr]=0,
pois X(s)=0. Então
\bigl(s^{2}+4s\bigr)Y_o(s)=s\,y(0)+y'(0)+4\,y(0).
Fatorizando o lado direito:
Y_o(s)=\frac{y(0)(s+4)+y'(0)}{s(s+4)}.

Passo 5

Invertendo Y_o(s) para obter y_o(t). Denotando y(0)=y_0 e y'(0)=y_1 por clareza, temos
Y_o(s)=\frac{y_0(s+4)+y_1}{s(s+4)}.
Separar termos úteis:
Y_o(s)=\frac{y_0(s+4)}{s(s+4)}+\frac{y_1}{s(s+4)}= \frac{y_0}{s}+\frac{y_1}{s(s+4)}.
A primeira parcela inverte como \mathcal{L}^{-1}\{y_0/s\}=y_0 (constante). Para a segunda parcela fazemos frações parciais:
\frac{y_1}{s(s+4)}=\frac{C}{s}+\frac{D}{s+4}.
Multiplicando por s(s+4) obtemos
y_1 = C(s+4)+D s = (C+D)s + 4C.
Comparando coeficientes: C+D=0 e 4C=y_1. Assim C=\dfrac{y_1}{4} e D=-\dfrac{y_1}{4}. Invertendo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{y_1}{s(s+4)}\right\}=\frac{y_1}{4}-\frac{y_1}{4}e^{-4t}=\frac{y_1}{4}\bigl(1-e^{-4t}\bigr).
Somando com a primeira parcela:
y_o(t)=y_0+\frac{y_1}{4}\bigl(1-e^{-4t}\bigr).

Passo 6

Aplicar a condição inicial dada e comentar sobre a falta de y'(0). O enunciado dá y_o(0)=6, então y_0=6. Contudo y_1=y'(0) não foi informada no enunciado, e como este é um sistema de segunda ordem, a resposta natural depende de y'(0). Portanto a expressão completa é
y_o(t)=6+\frac{y'(0)}{4}\bigl(1-e^{-4t}\bigr),
onde y'(0) é o valor inicial da derivada, não fornecido. Se for feita a suposição natural (quando não dada) de que a derivada inicial é nula, isto é y'(0)=0, então
y_o(t)=6 \quad\text{(constante)}.
Ambas as formas acima satisfazem y_o(0)=6; a expressão geral permite qualquer y'(0) compatível com outras condições que porventura fossem fornecidas.

Resposta

Função de transferência: H(s)=\frac{3s+1}{s^{2}+4s}=\frac{3s+1}{s(s+4)}.
Componente de entrada nula: y_o(t)=6+\frac{y'(0)}{4}\bigl(1-e^{-4t}\bigr).
(Se for assumido y'(0)=0, então y_o(t)=6.)

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