a) É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?
◯ Sim
◯ Não
Obs.: Se o sistema não for convergente, preencha 0 para x_{1}, x_{2} e x_{3} no item b).
b) Resolver o sistema utilizando o Método de Jacobi com \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0.7 & -1.6 & 0.6\end{array}\right]^{T} e \boldsymbol{\epsilon}=0.5 \cdot 10^{-3} (três casas decimais corretas).
x_{1}= □
x_{2}= □
x_{3}= □
Passo 1
Vou escrever de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
Pergunta (a): verificar se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas (isto é, critério de dominância diagonal por linhas).
Pergunta (b): caso seja convergente, aplicar o Método de Jacobi com vetor inicial
e critério de parada \epsilon=0{,}5\cdot10^{-3}=0{,}0005 (objetivo: três casas decimais corretas). Se o método não convergir, devo preencher zeros.]
Passo 2
Explicação do critério das linhas (dominância diagonal por linhas) e por que ele importa.
Definição: uma matriz de coeficientes A=(a_{ij}) é estritamente diagonal dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Por que isso interessa: se a matriz de coeficientes do sistema linear for estritamente diagonal dominante por linhas, então o Método de Jacobi converge para a solução para qualquer vetor inicial. É uma condição suficiente de convergência (não é necessária, mas é simples de checar e muito usada na prova).
Passo 3
Aplicando o critério das linhas ao sistema (pegando os coeficientes do enunciado).
Linha 1: coeficiente diagonal a_{11}=10. Soma dos demais elementos em valor absoluto:
|2|+|-1|=2+1=3.
Comparação:
|a_{11}|=10>3.
Linha 2: a_{22}=5. Soma das outras entradas:
|1|+|1|=1+1=2.
Comparação:
|a_{22}|=5>2.
Linha 3: a_{33}=10. Soma das outras entradas:
|2|+|3|=2+3=5.
Comparação:
|a_{33}|=10>5.
Como em todas as três linhas a desigualdade estrita se verifica, a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas. Portanto o Método de Jacobi é convergente para esse sistema (resposta da parte (a): Sim).
Passo 4
Derivar as fórmulas de iteração do Método de Jacobi (isolando cada variável na sua equação).
Para Jacobi, em cada iteração k a componente x_i^{(k+1)} é obtida isolando x_i na i-ésima equação usando somente os valores do passo anterior \mathbf{x}^{(k)}. Das equações do sistema temos:
Da primeira equação 10x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-4 isolamos x_{1}:
x_{1}=\frac{-4-2x_{2}+x_{3}}{10}.
Da segunda equação x_{1}+5x_{2}+x_{3}=1 isolamos x_{2}:
x_{2}=\frac{1-x_{1}-x_{3}}{5}.
Da terceira equação 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=-10 isolamos x_{3}:
x_{3}=\frac{-10-2x_{1}-3x_{2}}{10}.
Estas são as fórmulas que usaremos para obter \mathbf{x}^{(k+1)} a partir de \mathbf{x}^{(k)}.
Passo 5
Critério de parada que vou usar (e por que ele dá três casas decimais corretas).
Vou usar o critério habitual baseado na norma infinito da diferença entre iterações:
Paro quando \|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}\le\epsilon com \epsilon=0{,}0005. Esse valor (metade de 10^{-3}) garante que os três primeiros algarismos decimais arredondados de cada componente estejam corretos (regra prática usada em provas).
Começo de \mathbf{x}^{(0)}=\bigl(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6\bigr)^{T}.
Agora calculo iterativamente até atender o critério.
Passo 6
Iteração k=0\to k=1. Uso \mathbf{x}^{(0)}=(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6)^{T}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(7)}-\mathbf{x}^{(6)}\|_{\infty}=\max(0{,}0005744,0{,}000842,0{,}00010808)=0{,}000842>\epsilon. Ainda maior que \epsilon, prossigo.]
Passo 13
Iteração k=7\to k=8. Uso \mathbf{x}^{(7)}=(-0{,}6093068,\,0{,}5290692,\,-1{,}03672168)^{T}.