Seja o sistema linear:
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =-4 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3} & =1 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3} & =-10 \end{aligned}\right.
a) É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?
◯ Sim
◯ Não
Obs.: Se o sistema não for convergente, preencha 0 para x_{1}, x_{2} e x_{3} no item b).
b) Resolver o sistema utilizando o Método de Jacobi com \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0.7 & -1.6 & 0.6\end{array}\right]^{T} e \boldsymbol{\epsilon}=0.5 \cdot 10^{-3} (três casas decimais corretas).
  • x_{1}=
  • x_{2}=
  • x_{3}=

Passo 1

Vou escrever de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • O sistema linear fornecido é
\left\{\begin{aligned} 10x_{1}+2x_{2}-x_{3} &= -4,\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+x_{3} &= 1,\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3} &= -10. \end{aligned}\right.
  • Pergunta (a): verificar se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas (isto é, critério de dominância diagonal por linhas).
  • Pergunta (b): caso seja convergente, aplicar o Método de Jacobi com vetor inicial
\mathbf{x}^{(0)}=\begin{bmatrix}0,7\\[2pt]-1,6\\[2pt]0,6\end{bmatrix}
e critério de parada \epsilon=0{,}5\cdot10^{-3}=0{,}0005 (objetivo: três casas decimais corretas). Se o método não convergir, devo preencher zeros.]

Passo 2

Explicação do critério das linhas (dominância diagonal por linhas) e por que ele importa.
  • Definição: uma matriz de coeficientes A=(a_{ij}) é estritamente diagonal dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
  • Por que isso interessa: se a matriz de coeficientes do sistema linear for estritamente diagonal dominante por linhas, então o Método de Jacobi converge para a solução para qualquer vetor inicial. É uma condição suficiente de convergência (não é necessária, mas é simples de checar e muito usada na prova).

Passo 3

Aplicando o critério das linhas ao sistema (pegando os coeficientes do enunciado).
  • Linha 1: coeficiente diagonal a_{11}=10. Soma dos demais elementos em valor absoluto:
|2|+|-1|=2+1=3.
Comparação:
|a_{11}|=10>3.
  • Linha 2: a_{22}=5. Soma das outras entradas:
|1|+|1|=1+1=2.
Comparação:
|a_{22}|=5>2.
  • Linha 3: a_{33}=10. Soma das outras entradas:
|2|+|3|=2+3=5.
Comparação:
|a_{33}|=10>5.
Como em todas as três linhas a desigualdade estrita se verifica, a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas. Portanto o Método de Jacobi é convergente para esse sistema (resposta da parte (a): Sim).

Passo 4

Derivar as fórmulas de iteração do Método de Jacobi (isolando cada variável na sua equação).
Para Jacobi, em cada iteração k a componente x_i^{(k+1)} é obtida isolando x_i na i-ésima equação usando somente os valores do passo anterior \mathbf{x}^{(k)}. Das equações do sistema temos:
  • Da primeira equação 10x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-4 isolamos x_{1}:
x_{1}=\frac{-4-2x_{2}+x_{3}}{10}.
  • Da segunda equação x_{1}+5x_{2}+x_{3}=1 isolamos x_{2}:
x_{2}=\frac{1-x_{1}-x_{3}}{5}.
  • Da terceira equação 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=-10 isolamos x_{3}:
x_{3}=\frac{-10-2x_{1}-3x_{2}}{10}.
Estas são as fórmulas que usaremos para obter \mathbf{x}^{(k+1)} a partir de \mathbf{x}^{(k)}.

Passo 5

Critério de parada que vou usar (e por que ele dá três casas decimais corretas).
  • Vou usar o critério habitual baseado na norma infinito da diferença entre iterações:
\|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|.
Paro quando \|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}\le\epsilon com \epsilon=0{,}0005. Esse valor (metade de 10^{-3}) garante que os três primeiros algarismos decimais arredondados de cada componente estejam corretos (regra prática usada em provas).
  • Começo de \mathbf{x}^{(0)}=\bigl(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6\bigr)^{T}.
Agora calculo iterativamente até atender o critério.

Passo 6

Iteração k=0\to k=1. Uso \mathbf{x}^{(0)}=(0{,}7,\,-1{,}6,\,0{,}6)^{T}.
  • Calculando x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{-4-2(-1{,}6)+0{,}6}{10}=\frac{-4+3{,}2+0{,}6}{10}=\frac{-0{,}2}{10}=-0{,}02.
  • Calculando x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{1-0{,}7-0{,}6}{5}=\frac{-0{,}3}{5}=-0{,}06.
  • Calculando x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{-10-2(0{,}7)-3(-1{,}6)}{10}=\frac{-10-1{,}4+4{,}8}{10}=\frac{-6{,}6}{10}=-0{,}66.
Portanto
\mathbf{x}^{(1)}=\begin{bmatrix}-0{,}02\\[2pt]-0{,}06\\[2pt]-0{,}66\end{bmatrix}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_{\infty}=\max(0{,}72,1{,}54,1{,}26)=1{,}54>\epsilon. Continuo.]

Passo 7

Iteração k=1\to k=2. Uso \mathbf{x}^{(1)}=(-0{,}02,\,-0{,}06,\,-0{,}66)^{T}.
  • x_{1}^{(2)}=\dfrac{-4-2(-0{,}06)+(-0{,}66)}{10}=\dfrac{-4+0{,}12-0{,}66}{10}=\dfrac{-4{,}54}{10}=-0{,}454.
  • x_{2}^{(2)}=\dfrac{1-(-0{,}02)-(-0{,}66)}{5}=\dfrac{1+0{,}02+0{,}66}{5}=\dfrac{1{,}68}{5}=0{,}336.
  • x_{3}^{(2)}=\dfrac{-10-2(-0{,}02)-3(-0{,}06)}{10}=\dfrac{-10+0{,}04+0{,}18}{10}=\dfrac{-9{,}78}{10}=-0{,}978.
Logo
\mathbf{x}^{(2)}=\begin{bmatrix}-0{,}454\\[2pt]0{,}336\\[2pt]-0{,}978\end{bmatrix}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\|_{\infty}=\max(0{,}434,0{,}396,0{,}318)=0{,}434>\epsilon. Continuo.]

Passo 8

Iteração k=2\to k=3. Uso \mathbf{x}^{(2)}=(-0{,}454,\,0{,}336,\,-0{,}978)^{T}.
  • x_{1}^{(3)}=\dfrac{-4-2(0{,}336)+(-0{,}978)}{10}=\dfrac{-4-0{,}672-0{,}978}{10}=\dfrac{-5{,}65}{10}=-0{,}565.
  • x_{2}^{(3)}=\dfrac{1-(-0{,}454)-(-0{,}978)}{5}=\dfrac{1+0{,}454+0{,}978}{5}=\dfrac{2{,}432}{5}=0{,}4864.
  • x_{3}^{(3)}=\dfrac{-10-2(-0{,}454)-3(0{,}336)}{10}=\dfrac{-10+0{,}908-1{,}008}{10}=\dfrac{-10{,}1}{10}=-1{,}01.
\mathbf{x}^{(3)}=\begin{bmatrix}-0{,}565\\[2pt]0{,}4864\\[2pt]-1{,}01\end{bmatrix}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_{\infty}=\max(0{,}111,0{,}1504,0{,}032)=0{,}1504>\epsilon. Continuo.]

Passo 9

Iteração k=3\to k=4. Uso \mathbf{x}^{(3)}=(-0{,}565,\,0{,}4864,\,-1{,}01)^{T}.
  • x_{1}^{(4)}=\dfrac{-4-2(0{,}4864)+(-1{,}01)}{10}=\dfrac{-4-0{,}9728-1{,}01}{10}=\dfrac{-5{,}9828}{10}=-0{,}59828.
  • x_{2}^{(4)}=\dfrac{1-(-0{,}565)-(-1{,}01)}{5}=\dfrac{1+0{,}565+1{,}01}{5}=\dfrac{2{,}575}{5}=0{,}515.
  • x_{3}^{(4)}=\dfrac{-10-2(-0{,}565)-3(0{,}4864)}{10}=\dfrac{-10+1{,}13-1{,}4592}{10}=\dfrac{-10{,}3292}{10}=-1{,}03292.
\mathbf{x}^{(4)}=\begin{bmatrix}-0{,}59828\\[2pt]0{,}515\\[2pt]-1{,}03292\end{bmatrix}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(4)}-\mathbf{x}^{(3)}\|_{\infty}=\max(0{,}03328,0{,}0286,0{,}02292)=0{,}03328>\epsilon. Continuo.]

Passo 10

Iteração k=4\to k=5. Uso \mathbf{x}^{(4)}=(-0{,}59828,\,0{,}515,\,-1{,}03292)^{T}.
  • x_{1}^{(5)}=\dfrac{-4-2(0{,}515)+(-1{,}03292)}{10}=\dfrac{-4-1{,}03-1{,}03292}{10}=\dfrac{-6{,}06292}{10}=-0{,}606292.
  • x_{2}^{(5)}=\dfrac{1-(-0{,}59828)-(-1{,}03292)}{5}=\dfrac{1+0{,}59828+1{,}03292}{5}=\dfrac{2{,}6312}{5}=0{,}52624.
  • x_{3}^{(5)}=\dfrac{-10-2(-0{,}59828)-3(0{,}515)}{10}=\dfrac{-10+1{,}19656-1{,}545}{10}=\dfrac{-10{,}34844}{10}=-1{,}034844.
\mathbf{x}^{(5)}=\begin{bmatrix}-0{,}606292\\[2pt]0{,}52624\\[2pt]-1{,}034844\end{bmatrix}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(5)}-\mathbf{x}^{(4)}\|_{\infty}=\max(0{,}008012,0{,}01124,0{,}001924)=0{,}01124>\epsilon. Continuo.]

Passo 11

Iteração k=5\to k=6. Uso \mathbf{x}^{(5)}=(-0{,}606292,\,0{,}52624,\,-1{,}034844)^{T}.
  • x_{1}^{(6)}=\dfrac{-4-2(0{,}52624)+(-1{,}034844)}{10}=\dfrac{-4-1{,}05248-1{,}034844}{10}=\dfrac{-6{,}087324}{10}=-0{,}6087324.
  • x_{2}^{(6)}=\dfrac{1-(-0{,}606292)-(-1{,}034844)}{5}=\dfrac{1+0{,}606292+1{,}034844}{5}=\dfrac{2{,}641136}{5}=0{,}5282272.
  • x_{3}^{(6)}=\dfrac{-10-2(-0{,}606292)-3(0{,}52624)}{10}=\dfrac{-10+1{,}212584-1{,}57872}{10}=\dfrac{-10{,}366136}{10}=-1{,}0366136.
\mathbf{x}^{(6)}=\begin{bmatrix}-0{,}6087324\\[2pt]0{,}5282272\\[2pt]-1{,}0366136\end{bmatrix}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(6)}-\mathbf{x}^{(5)}\|_{\infty}=\max(0{,}0024404,0{,}0019872,0{,}0017696)=0{,}0024404>\epsilon. Continuo.]

Passo 12

Iteração k=6\to k=7. Uso \mathbf{x}^{(6)}=(-0{,}6087324,\,0{,}5282272,\,-1{,}0366136)^{T}.
  • x_{1}^{(7)}=\dfrac{-4-2(0{,}5282272)+(-1{,}0366136)}{10}=\dfrac{-4-1{,}0564544-1{,}0366136}{10}=\dfrac{-6{,}093068}{10}=-0{,}6093068.
  • x_{2}^{(7)}=\dfrac{1-(-0{,}6087324)-(-1{,}0366136)}{5}=\dfrac{1+0{,}6087324+1{,}0366136}{5}=\dfrac{2{,}645346}{5}=0{,}5290692.
  • x_{3}^{(7)}=\dfrac{-10-2(-0{,}6087324)-3(0{,}5282272)}{10}=\dfrac{-10+1{,}2174648-1{,}5846816}{10}=\dfrac{-10{,}3672168}{10}=-1{,}03672168.
\mathbf{x}^{(7)}=\begin{bmatrix}-0{,}6093068\\[2pt]0{,}5290692\\[2pt]-1{,}03672168\end{bmatrix}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(7)}-\mathbf{x}^{(6)}\|_{\infty}=\max(0{,}0005744,0{,}000842,0{,}00010808)=0{,}000842>\epsilon. Ainda maior que \epsilon, prossigo.]

Passo 13

Iteração k=7\to k=8. Uso \mathbf{x}^{(7)}=(-0{,}6093068,\,0{,}5290692,\,-1{,}03672168)^{T}.
  • x_{1}^{(8)}=\dfrac{-4-2(0{,}5290692)+(-1{,}03672168)}{10}=\dfrac{-4-1{,}0581384-1{,}03672168}{10}=\dfrac{-6{,}09486008}{10}=-0{,}609486008.
  • x_{2}^{(8)}=\dfrac{1-(-0{,}6093068)-(-1{,}03672168)}{5}=\dfrac{1+0{,}6093068+1{,}03672168}{5}=\dfrac{2{,}64602848}{5}=0{,}529205696.
  • x_{3}^{(8)}=\dfrac{-10-2(-0{,}6093068)-3(0{,}5290692)}{10}=\dfrac{-10+1{,}2186136-1{,}5872076}{10}=\dfrac{-10{,}368594}{10}=-1{,}0368594.
\mathbf{x}^{(8)}=\begin{bmatrix}-0{,}609486008\\[2pt]0{,}529205696\\[2pt]-1{,}0368594\end{bmatrix}.
Diferença \|\mathbf{x}^{(8)}-\mathbf{x}^{(7)}\|_{\infty}=\max(0{,}000179208,0{,}000136496,0{,}00013772)=0{,}000179208.
Como 0{,}000179208\le\epsilon(=0{,}0005), o critério de parada é satisfeito e paro as iterações.]

Passo 14

Interpretação final e arredondamento às três casas decimais.
  • Pelo critério adotado, a iteração foi parada em k=8 e a aproximação obtida foi
\mathbf{x}^{(8)}\approx\begin{bmatrix}-0{,}609486008\\[2pt]0{,}529205696\\[2pt]-1{,}0368594\end{bmatrix}.
  • Arredondando cada componente para três casas decimais (vírgula decimal, conformidade com notação usada no enunciado):
x_{1}\approx-0{,}609,\qquad x_{2}\approx0{,}529,\qquad x_{3}\approx-1{,}037.]

Resposta

x_{1}=-0,609
x_{2}=0,529
x_{3}=-1,037