Seja um sistema massa-mola oscilando horizontalmente sem atrito executando um movimento MHS. A constante elástica da mola é k = 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e a massa do corpo é 0,50 \mathrm{~kg}. Em t =0 \mathrm{~s} considere que deslocamento inicial do corpo é \mathrm{x}_{0}=0,015 \mathrm{~m} e a velocidade inicial \mathrm{v}_{0 \mathrm{x}}=0,40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) calcule o período, a frequência angular \omega, a amplitude e a constante de fase do movimento.
(b) Escreva equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(R: (a) \mathrm{T}=0,31 \mathrm{~s} ; \omega=20 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; \mathrm{A}=0,025 \mathrm{~m} ; \delta=-0,92 \mathrm{rad};
(b) \mathrm{x}=(0,025 \mathrm{~m}) \cos [(20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}-092 \mathrm{rad}];
v_{x}=-(0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) sen [ (20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}-092 \mathrm{rad} ];
a_{x}=-\left(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \cos [(20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}-092 \mathrm{rad}] ;

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
k = 200\\ \mathrm{N/m},\quad m = 0{,}50\\ \mathrm{kg},\quad x(0)=x_0=0{,}015\\ \mathrm{m},\quad v_x(0)=v_0=0{,}40\\ \mathrm{m/s},\quad t=0\\ \mathrm{s}.
Perguntas:
(a) Calcular o período T, a frequência angular \omega, a amplitude A e a constante de fase \delta do movimento.
(b) Escrever as equações do deslocamento x(t), da velocidade v_x(t) e da aceleração a_x(t).

Passo 2

Modelo físico e equações gerais do MHS (explicação e fórmulas usadas).
Em um sistema massa-mola sem atrito a força restauradora é dada pela Lei de Hooke e a 2ª lei de Newton dá a equação do movimento:
F = -k x,\qquad m\ddot{x}=F \;\Rightarrow\; m\ddot{x} + kx = 0.
Aqui \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada de x em relação ao tempo). A solução geral (convenção usando cosseno) é
x(t) = A\cos(\omega t + \delta),
onde:
  • A é a amplitude (máxima magnitude do deslocamento);
  • \omega é a frequência angular, dada por
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}};
  • \delta é a constante de fase, que posiciona o início do movimento no tempo t=0.
A velocidade é a derivada de x(t):
v_x(t)=\dot{x}(t) = -A\omega\sin(\omega t + \delta),
e a aceleração é a segunda derivada:
a_x(t)=\ddot{x}(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \delta).

Passo 3

Cálculo de \omega e do período T.
Usamos \omega=\sqrt{k/m}. Substituindo os valores:
\omega = \sqrt{\frac{200}{0{,}50}} = \sqrt{400} = 20\\ \mathrm{rad/s}.
O período é T = \dfrac{2\pi}{\omega}:
T = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}\approx 0{,}31416\\ \mathrm{s}.
Arredondando para duas casas decimais (como costuma aparecer em respostas de prova): T\approx 0{,}31\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Uso das condições iniciais para obter A e \delta — montar as equações.
Em t=0 temos:
x(0)=A\cos\delta = x_0=0{,}015\\ \mathrm{m},
v_x(0)=-A\omega\sin\delta = v_0=0{,}40\\ \mathrm{m/s}.
Essas duas equações relacionam A e \delta com os dados iniciais. Para achar A é prático eliminar \delta: elevando ao quadrado e somando as duas equações teremos
(A\cos\delta)^2 + (A\omega\sin\delta)^2 = x_0^2 + v_0^2.
Factorizando A^2:
A^2\big(\cos^2\delta + \omega^2\sin^2\delta\big) = x_0^2 + v_0^2.
Mas para o método clássico, dividimos a segunda equação por \omega antes de somar — assim obtemos uma forma direta:
\big(A\cos\delta\big)^2 + \big(\tfrac{A}{\omega}\omega\sin\delta\big)^2 = x_0^2 + \big(\tfrac{v_0}{\omega}\big)^2,
isto leva ao resultado padrão:
A^2 = x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2.
Este passo usa a identidade \cos^2\delta+\sin^2\delta=1.

Passo 5

Cálculo numérico da amplitude A.
Calcule \dfrac{v_0}{\omega}:
\frac{v_0}{\omega}=\frac{0{,}40}{20}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
Agora
A^2 = (0{,}015)^2 + (0{,}02)^2 = 0{,}000225 + 0{,}0004 = 0{,}000625.
Logo
A = \sqrt{0{,}000625} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo da constante de fase \delta.
Usamos as relações em t=0:
\cos\delta = \frac{x_0}{A} = \frac{0{,}015}{0{,}025} = 0{,}6,
\sin\delta = -\frac{v_0}{A\omega} = -\frac{0{,}40}{0{,}025\cdot 20} = -\frac{0{,}40}{0{,}50} = -0{,}8.
Note que \cos\delta=0{,}6 e \sin\delta=-0{,}8 identificam um ângulo no quarto quadrante. O valor principal que satisfaz essas duas igualdades é
\delta = \operatorname{atan2}(\sin\delta,\cos\delta)=\operatorname{atan2}(-0{,}8,0{,}6)\approx -0{,}9273\\ \mathrm{rad}.
Arredondando: \delta\approx -0{,}92\\ \mathrm{rad}.
(Comentário rápido sobre \operatorname{atan2}: ela determina o ângulo correto levando em conta o sinal de seno e cosseno, evitando ambiguidade de quadrante.)

Passo 7

Escrever as equações finais e mostrar como obter velocidade e aceleração por derivação (com explicação).
A equação do deslocamento com os parâmetros numéricos:
x(t)=A\cos(\omega t + \delta) = 0{,}025\cos\big(20\,t - 0{,}9273\big)\\ \mathrm{m}.
A velocidade é a derivada:
v_x(t)=\dot{x}(t) = -A\omega\sin(\omega t + \delta) = -(0{,}025)(20)\sin\big(20\,t - 0{,}9273\big) = -0{,}50\sin\big(20\,t - 0{,}9273\big)\\ \mathrm{m/s}.
A aceleração é a segunda derivada:
a_x(t)=\ddot{x}(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \delta) = -(0{,}025)(20^2)\cos\big(20\,t - 0{,}9273\big) = -10\cos\big(20\,t - 0{,}9273\big)\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 8

Verificação rápida com as condições iniciais (para ganhar confiança).
Em t=0:
x(0)=0{,}025\cos(-0{,}9273)=0{,}025\cdot 0{,}6 = 0{,}015\\ \mathrm{m},
v_x(0)=-0{,}50\sin(-0{,}9273) = -0{,}50\cdot(-0{,}8)=0{,}40\\ \mathrm{m/s},
confere com os dados iniciais. Beleza — as equações estão corretas.

Resposta

(a) T=0{,}31\\ \mathrm{s};\quad \omega=20\\ \mathrm{rad/s};\quad A=0{,}025\\ \mathrm{m};\quad \delta=-0{,}92\\ \mathrm{rad}.
(b) x(t)=0{,}025\cos\big(20\,t-0{,}9273\big)\\ \mathrm{m};\quad v_x(t)=-0{,}50\sin\big(20\,t-0{,}9273\big)\\ \mathrm{m/s};\quad a_x(t)=-10\cos\big(20\,t-0{,}9273\big)\\ \mathrm{m/s^2}.

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