Seja um sistema massa-mola oscilando horizontalmente sem atrito executando um movimento MHS. A constante elástica da mola é k =
e a massa do corpo é
. Em t
considere que deslocamento inicial do corpo é
e a velocidade inicial
.
(a) calcule o período, a frequência angular
, a amplitude e a constante de fase do movimento.
(b) Escreva equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(R: (a)
;
(b)
;
sen [
];
(a) calcule o período, a frequência angular
(b) Escreva equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(R: (a)
(b)
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
Perguntas:
(a) Calcular o período , a frequência angular
, a amplitude
e a constante de fase
do movimento.
(b) Escrever as equações do deslocamento , da velocidade
e da aceleração
.
(a) Calcular o período
(b) Escrever as equações do deslocamento
Passo 2
Modelo físico e equações gerais do MHS (explicação e fórmulas usadas).
Em um sistema massa-mola sem atrito a força restauradora é dada pela Lei de Hooke e a 2ª lei de Newton dá a equação do movimento:
Aqui
é a aceleração (segunda derivada de
em relação ao tempo). A solução geral (convenção usando cosseno) é
onde:
-
é a amplitude (máxima magnitude do deslocamento); -
é a frequência angular, dada por
-
é a constante de fase, que posiciona o início do movimento no tempo .
A velocidade é a derivada de
:
e a aceleração é a segunda derivada:
Passo 3
Cálculo de
e do período
.
Usamos
. Substituindo os valores:
O período é
:
Arredondando para duas casas decimais (como costuma aparecer em respostas de prova):
.
Passo 4
Uso das condições iniciais para obter
e
— montar as equações.
Em
temos:
Essas duas equações relacionam
e
com os dados iniciais. Para achar
é prático eliminar
: elevando ao quadrado e somando as duas equações teremos
Factorizando
:
Mas para o método clássico, dividimos a segunda equação por
antes de somar — assim obtemos uma forma direta:
isto leva ao resultado padrão:
Este passo usa a identidade
.
Passo 5
Cálculo numérico da amplitude
.
Calcule
:
Agora
Logo
Passo 6
Cálculo da constante de fase
.
Usamos as relações em
:
Note que
e
identificam um ângulo no quarto quadrante. O valor principal que satisfaz essas duas igualdades é
Arredondando:
.
(Comentário rápido sobre : ela determina o ângulo correto levando em conta o sinal de seno e cosseno, evitando ambiguidade de quadrante.)
(Comentário rápido sobre
Passo 7
Escrever as equações finais e mostrar como obter velocidade e aceleração por derivação (com explicação).
A equação do deslocamento com os parâmetros numéricos:
A velocidade é a derivada:
A aceleração é a segunda derivada:
Passo 8
Verificação rápida com as condições iniciais (para ganhar confiança).
Em
:
confere com os dados iniciais. Beleza — as equações estão corretas.
Resposta
(a)
(b)