- Plote qualitativamente as respostas das seguintes funções de transferências, assuma que a entrada seja um degrau unitário.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para plotar qualitativamente a resposta ao degrau unitário da função de transferência dada. Informações fornecidas:
- A função de transferência é
. - A entrada é um degrau unitário, isto é,
com transformada de Laplace .
O pedido é: obter a resposta no tempo (qualitativa)
para
quando a entrada é o degrau unitário, e indicar como esboçar o gráfico (pontos importantes, comportamento inicial e assíntota).
Passo 2
Vamos escrever a saída em domínio de Laplace
multiplicando
por
:
Explicação didática: aqui
é a transformada de Laplace da saída
. Para voltar ao tempo precisamos decompor
em frações simples (partial fractions) e depois usar tabelas de transformada inversa da Laplace.
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações simples assumindo a forma
onde
são constantes a determinar.
Explicação didática: a ideia é escrever
como soma de termos cuja transformada inversa é conhecida:
e
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Para achar
é eficiente avaliar em valores de
que anulam fatores:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Verificação rápida (opcional):
elimina termo
, e os demais termos conferem com
.
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando as correspondências:
Portanto
Escrevendo de forma limpa:
Explicação didática: cada termo corresponde a uma contribuição ao comportamento temporal. O termo constante
é a componente de estado permanente; os termos exponenciais decaem com as constantes de decaimento
e
.
Passo 6
Analisando valores-chave:
- Valor inicial
:
Isto significa que a saída inicia em zero (como é comum quando a função de transferência é propriamente formada e a entrada é um degrau aplicado em
).
- Valor em regime permanente (
): as exponenciais desaparecem, sobra
Isto também pode ser obtido pelo teorema do valor final:
.
- Derivada inicial (pendente inicial):
Calcule:
Logo
Significa que a saída está subindo inicialmente com inclinação unitária.
Passo 7
Verificamos se há pico (máximo) transitório e quando ocorre. Zerar
:
Dividindo por
obtemos
, portanto
Valor no pico:
Usando
e
, obtemos
Portanto há um pequeno overshoot: a saída sobe de
até cerca de
em
e depois decai para o valor final
. Não há oscilações (sem termos senoidais), apenas somas de exponenciais reais negativas.
Passo 8
Observações práticas para o esboço qualitativo do gráfico:
- Eixos: horizontal tempo
, vertical saída . - Ponto inicial:
. - Ponto de pico:
em . - Valor de regime permanente (assíntota horizontal):
. - Inclinação inicial:
(reta tangente inicial com coeficiente ). - Constantes de decaimento: polos em
e correspondem a constantes de tempo e . O termo (coeficiente ) domina o decaimento para tempos maiores (decai mais lentamente que ). - Forma qualitativa do traço: sobe suavemente desde
, cruza o valor final, atinge um pico pequeno ( ), depois decai exponencialmente aproximando-se assintoticamente de sem oscilações.
Sugestão prática para desenhar: marque
,
,
e
. Em
tem-se, por exemplo,
em
,
mostrando aproximação ao valor final.
Resposta
y(0)=0.
Valor de regime permanente: .
Pico transitório: em
.
Comportamento qualitativo: sobe desde 0 com inclinação inicial , atinge um pequeno overshoot em
e decai exponencialmente para a assíntota
sem oscilações.
Valor de regime permanente:
Pico transitório:
Comportamento qualitativo: sobe desde 0 com inclinação inicial