Seja um sistema de segunda ordem:
Gp=bary^prime(s)barm^prime(s)=5(s+1)(2 s+1)
Controlado por um controlador P , tal que Gc=1,6, com dinâmicas da válvula e do elemento de medida desprezíveis. Se um degrau de 0,1 é dado no set-point, determine:
O valor máximo da variável controlada; Y^prime max (t)=0,017

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos um processo de segunda ordem
Gp(s)=bar y'(s)bar m'(s)=5(s+1)(2s+1)
e um controlador proporcional . A entrada é um degrau de amplitude 0,1 no set‐point, e a gente quer achar o valor máximo que a saída alcança.
Conteúdo usado: laço realimentado de segunda ordem, forma padrão , resposta a degrau subamortecida e fórmula de pico (overshoot).

Passo 2

Primeiro montamos a função de transferência em malha fechada (realimentação unitária):
T(s);=;Gc,Gp(s)1+Gc,Gp(s) ;=; 1,6;dfrac5(s+1)(2s+1)1+1,6;dfrac5(s+1)(2s+1) ;=; 8(s+1)(2s+1)+8
Desenvolvendo o denominador:
(s+1)(2s+1)+8 ;=;2s^2+3s+1+8 ;=;2s^2+3s+9
Logo
T(s)=82s^2+3s+9 =4s^2+tfrac32,s+tfrac92

Passo 3

Agora colocamos em forma padrão
s^2+2zetaomegan s+omegan^2 ;long<=ftrightarrow; s^2+tfrac32,s+tfrac92
Assim
omegan^2=tfrac92 Rightarrow omegan=raiztfrac92=2,1213,
2zetaomegan=tfrac32 Rightarrow zeta=1,52;cdot2,1213=0,3536

Passo 4

Para um degrau de amplitude Y'(infty)=Rcdot T(0) =0,1;89=0,0889 , o valor final (DC) da saída é
Mp=e^-zetapiraiz1-zeta^2 =e^-0,3536,piraiz1-0,3536^2 approx0,33
Como tp=piomegad com omegad=omeganraiz1-zeta^2 , temos overshoot. O pico relativo é
Y'max =Y'(infty),l(1+Mpr) =0,0889,(1+0,33) approx0,017
O instante do pico é
E o valor máximo da saída é

Resposta

O valor máximo da variável controlada é
boxedY'max(t)=0,017

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