Seja um sistema de segunda ordem:
Gp=bary^prime(s)barm^prime(s)=5(s+1)(2 s+1)
Controlado por um controlador P , tal que Gc=1,6, com dinâmicas da válvula e do elemento de medida desprezíveis. Se um degrau de 0,1 é dado no set-point, determine:
O período de oscilação; R:3,14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um sistema de segunda ordem dado por
Gp(s)=bar y'(s)bar m'(s)=5(s+1)(2s+1)
controlado por um controlador P de ganho , sem outras dinâmicas relevantes. Recebemos um degrau de 0,1 no set-point e o que queremos é o período de oscilação que surge na resposta do sistema.
Conteúdo/matéria: sistemas de controle em malha fechada, equação característica, polos complexos e cálculo de período de oscilação. Vamos precisar:
  • Montar a função de transferência em malha fechada.
  • Obter a equação característica.
  • Encontrar os polos (raízes) dessa equação.
  • Extrair a parte imaginária para achar o período .

Passo 2

Primeiro formamos a função de transferência em malha fechada T(s)=Gc(s),Gp(s)1+Gc(s),Gp(s) . A fórmula é
L(s)=Gc,Gp(s)=1,6;5(s+1)(2s+1) =8(s+1)(2s+1)
Como (controlador P) e , o loop aberto é
A equação característica em malha fechada vem de .

Passo 3

Escrevendo 1+8(s+1)(2s+1)=0 Longrightarrow (s+1)(2s+1)+8=0 :
(s+1)(2s+1)=2s^2 + s +2s +1 =2s^2+3s+1,
Agora expandimos:
2s^2+3s+1+8=0 Longrightarrow 2s^2+3s+9=0
então a equação fica

Passo 4

Para achar os polos, resolvemos a quadrática
2s^2+3s+9=0
usando a fórmula de Bhaskara:
s=-3pmraiz3^2-4cdot2cdot92cdot2 =-3pmraiz9-724 =-3pm jraiz634
Então os polos são
s1,2=-34pm j,raiz634
A parte imaginária é
omegad = raiz634approx 1,997
(em rad/s). O período de oscilação T=2piomegad approx 2pi1,997 approx 3,14 s de um par de polos complexos é

Resposta

O período de oscilação vale aproximadamente segundos.

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