Um tanque de nível com
e
está sendo controlado por
PI com:
e
.
Para a válvula tem-se
e para o elemento de medida
.
Suponha que o sistema esteja, inicialmente, no EE com ho
. Mostre que se o sistema é submetido a uma mudança degrau no set-point de 2 para 3 ft , o nível de líquido alcança o novo set-point.
Escreva a função transferência Gset-point;
Para a válvula tem-se
Suponha que o sistema esteja, inicialmente, no EE com ho
Escreva a função transferência Gset-point;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um tanque de área A=3 ft² e resistência hidráulica R=1 min/ft², controlado por um controlador PI com ganho Kc=4 e tempo integral τI=3 min. A válvula tem ganho Kv=0,2 e o sensor Km=1. O sistema está em estado estacionário em h₀=2 ft. Queremos mostrar que, ao mudar o set-point de 2 para 3 ft, o nível atinge de fato 3 ft, e ainda escrever a função de transferência do set-point, Gset-point(s).
Conteúdo: teoria de sistemas de controle em malha fechada (PI), análise de regime permanente e função de transferência. Vamos precisar modelar cada bloco (tanque, válvula, sensor, controlador), montar a malha e calcular Gset-point(s).
Conteúdo: teoria de sistemas de controle em malha fechada (PI), análise de regime permanente e função de transferência. Vamos precisar modelar cada bloco (tanque, válvula, sensor, controlador), montar a malha e calcular Gset-point(s).
Passo 2
Modelagem dos blocos:
- Tanque: pela equação A·dh/dt = Qin – Qout, onde Qout = h/R. Em Laplace,
H(s) = Gp(s) · Qin(s), com - Válvula: ganho estático
- Sensor:
- Controlador PI:
Passo 3
Montamos a transferência em malha aberta (lógica: R→Gc→Gv→Gp→Gm→Y, e realimentação):
Mas, pra manter a forma, podemos deixar:
A função de transferência do set-point (resposta do nível Y(s) ao sinal de referência R(s)) é
Passo 4
Verificação do erro em regime permanente: basta ver o ganho estático de Gsp(s), ou seja, s→0:
$$G_{sp}(0)=\lim_{s\to0}\frac{L(s)}{1+L(s)}
=\frac{\tfrac{0.8}{3\cdot0}}{1+\tfrac{0.8}{3\cdot0}}.
G_{sp}(0)=\frac{\infty}{1+\infty}=1,. $$
Isso significa que, no regime permanente, y(∞)=r(∞). Logo um degrau de referência de 2→3 ft será acompanhado perfeitamente e a saída chegará a 3 ft.
Resposta
A função de transferência de set-point é
Como o ganho estático é 1 (devido ao termo integrador do PI), o nível atinge o novo set-point de 3 ft.