Um tanque de nível com A=3 ft^2 e R=1,0 min / ft^2 está sendo controlado por u m PI com: Kc=4 e tauI=3 min.
Para a válvula tem-se K v=0,2 e para o elemento de medida K m=1,0.
Suponha que o sistema esteja, inicialmente, no EE com ho =2 ft. Mostre que se o sistema é submetido a uma mudança degrau no set-point de 2 para 3 ft , o nível de líquido alcança o novo set-point.
Escreva a função transferência Gset-point;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um tanque de área A=3 ft² e resistência hidráulica R=1 min/ft², controlado por um controlador PI com ganho Kc=4 e tempo integral τI=3 min. A válvula tem ganho Kv=0,2 e o sensor Km=1. O sistema está em estado estacionário em h₀=2 ft. Queremos mostrar que, ao mudar o set-point de 2 para 3 ft, o nível atinge de fato 3 ft, e ainda escrever a função de transferência do set-point, Gset-point(s).
Conteúdo: teoria de sistemas de controle em malha fechada (PI), análise de regime permanente e função de transferência. Vamos precisar modelar cada bloco (tanque, válvula, sensor, controlador), montar a malha e calcular Gset-point(s).

Passo 2

Modelagem dos blocos:
  1. Tanque: pela equação A·dh/dt = Qin – Qout, onde Qout = h/R. Em Laplace,
    H(s) = Gp(s) · Qin(s), com Gp(s)=1A,R,s+1=13cdot1,s+1=13s+1
  2. Válvula: ganho estático Gv(s)=Kv=0,2
  3. Sensor: Gm(s)=Km=1
  4. Controlador PI: Gc(s)=Kcl(1+1tauI,sr)=4l(1+13sr)

Passo 3

Montamos a transferência em malha aberta (lógica: R→Gc→Gv→Gp→Gm→Y, e realimentação):
L(s)=Gc(s),Gv(s),Gp(s),Gm(s) =4l(1+13sr)times0.2times13s+1times1 =0.8,(3s+1)3s,(3s+1)=0.83s,
Mas, pra manter a forma, podemos deixar:
L(s)=4,(1+tfrac13s);0.23s+1=0.8,(3s+1)3s,(3s+1)=0.83s
A função de transferência do set-point (resposta do nível Y(s) ao sinal de referência R(s)) é
Gsp(s)=L(s)1+L(s);

Passo 4

Verificação do erro em regime permanente: basta ver o ganho estático de Gsp(s), ou seja, s→0:
$$G_{sp}(0)=\lim_{s\to0}\frac{L(s)}{1+L(s)}
=\frac{\tfrac{0.8}{3\cdot0}}{1+\tfrac{0.8}{3\cdot0}}. Gsp(0)=limsto0L(s)1+L(s) =tfrac0.83cdot01+tfrac0.83cdot0éG_{sp}(0)=\frac{\infty}{1+\infty}=1,. $$
Isso significa que, no regime permanente, y(∞)=r(∞). Logo um degrau de referência de 2→3 ft será acompanhado perfeitamente e a saída chegará a 3 ft.

Resposta

A função de transferência de set-point é
Gsp(s) =Gc(s),Gv(s),Gp(s),Gm(s) 1+Gc(s),Gv(s),Gp(s),Gm(s) =4l(1+13sr),0.2;/ (3s+1) 1+4l(1+13sr),0.2;/ (3s+1)
Como o ganho estático é 1 (devido ao termo integrador do PI), o nível atinge o novo set-point de 3 ft.

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