Seja um sistema que ao ser submetido a um sinal de entrada do tipo x(t)=2 e^-5 t u(t), produzam sinal de saída y(t)=2 e^-5 t+8 e^-2 t[cos (t)+2 cdot sen(t)] u(t). Determine a resposta do sistema considerando o sinal de entrada: x(t)=3 e^-2 t u(t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos um sistema LTI (linear e invariante no tempo) que, ao receber de entrada
x1(t) = 2,e^-5tu(t),
gera a saída
y1(t) = l[2,e^-5t ;+; 8,e^-2tl(cos t + 2sin tr)r],u(t)
A tarefa é descobrir qual será a saída x2(t) = 3,e^-2tu(t) quando a entrada for
Conteúdo usado: Transformada de Laplace, propriedade de sistemas LTI (multiplicação no -domínio), frações parciais e tabelinha de transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a função de transferência X1(s) = L2,e^-5tu(t) = 2s+5 .
  1. Laplace de Y1(s) = L2e^-5t + 8,Le^-2t(cos t+2sin t) = 2s+5 ;+; 8l(s+2(s+2)^2+1 + 21(s+2)^2+1r) :
8l(s+2+2(s+2)^2+1r) = 8,(,s+4,)(s+2)^2+1
  1. Laplace de H(s) = Y1(s)X1(s) = 2s+5 + 8(s+4)(s+2)^2+1 2s+5 = 1 ;+; 4,(s+4)(s+5)(s+2)^2+1, : note que

    e
    .
    Então
Simplificando o segundo termo:
  1. Pela definição de sistema LTI:
onde multiplicamos o numerador por .

Passo 3

Agora a saída para Y2(s) = H(s),X2(s) = l[1 + 4,tfrac(s+4)(s+5)(s+2)^2+1r];cdot;3s+2 em Laplace é
Y2(s) = 3s+2 + 12,(s+4)(s+5)(s+2)l[(s+2)^2+1r]
Disso vem
12(s+4)(s+5)(s+2)l[(s+2)^2+1r] = As+2 ;+; Bs+C(s+2)^2+1,
Para inverter, a gente separa em frações parciais o segundo termo. Definindo
fazendo as igualdades e resolvendo dá
, , .

Passo 4

Então
Y2(s) = 3s+2 ;+; 72s+2 ;-; 60s+60(s+2)^2+1 = 75s+2 ;-; 60,s+1(s+2)^2+1
Escrevendo , dividimos em duas transformadas conhecidas:

e
.

Resposta

Voltando pro domínio do tempo, obtemos
y2(t) = 75,e^-2t,u(t) ;-;60,e^-2tcos t,u(t) ;+;60,e^-2tsin t,u(t)
Ou, de forma compacta,
boxedy2(t) = e^-2tl[75 ;-;60cos t ;+;60sin tr],u(t)

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