Seja um sistema que ao ser submetido a um sinal de entrada do tipo
, produzam sinal de saída
. Determine a resposta do sistema considerando o sinal de entrada:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos um sistema LTI (linear e invariante no tempo) que, ao receber de entrada
gera a saída
A tarefa é descobrir qual será a saída
quando a entrada for
Conteúdo usado: Transformada de Laplace, propriedade de sistemas LTI (multiplicação no
-domínio), frações parciais e tabelinha de transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a função de transferência
.
- Laplace de
:
- Laplace de
: note que
e
.
Então
Simplificando o segundo termo:
- Pela definição de sistema LTI:
onde multiplicamos o numerador por
.
Passo 3
Agora a saída para
em Laplace é
Disso vem
Para inverter, a gente separa em frações parciais o segundo termo. Definindo
fazendo as igualdades e resolvendo dá
,
,
.
Passo 4
Então
Escrevendo
, dividimos em duas transformadas conhecidas:
e
.
e
Resposta
Voltando pro domínio do tempo, obtemos
Ou, de forma compacta,