Seja um sistema que está sob a ação de duas forças conservativas e uma força não conservativa. Mostre que a taxa de variação da energia mecânica do sistema é igual ao trabalho da força não conservativa. Dê exemplos de um contexto onde este caso se encaixa.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um sistema em que agem duas forças conservativas (por exemplo, peso e alguma força elástica) e também uma força não conservativa (tipo atrito). A tarefa é mostrar que a variação da energia mecânica do sistema (energia cinética + energia potencial) é só o “trabalho” (ou potência) da força não conservativa. Ou seja, comprovar algo como
onde
é a taxa de trabalho da força não conservativa.
Matéria envolvida: Teorema trabalho–energia, definição de força conservativa vs. não conservativa, energia mecânica.
O que vamos precisar:
Matéria envolvida: Teorema trabalho–energia, definição de força conservativa vs. não conservativa, energia mecânica.
O que vamos precisar:
- Saberes básicos do teorema trabalho–energia (
). - Saber que para forças conservativas
. - Definir energia mecânica
.
Passo 2
Primeiro, lembre do Teorema Trabalho–Energia: se uma força
age num corpo, seu trabalho infinitesimal é
Como
, a variação infinitesimal de energia cinética
satisfaz
Escrevendo isso em termos de taxa de variação,
Passo 3
Agora, separamos a soma das forças em conservativas (duas delas, chamemos genericamente de
) e a não conservativa
. Logo
Mas para cada força conservativa
, existe uma energia potencial
tal que
Então a soma delas dá
Passo 4
Juntando tudo:
Passamos o
para o lado esquerdo e somamos com
:
Mas
. Então
Resposta
A taxa de variação da energia mecânica do sistema é igual à potência (ou trabalho por unidade de tempo) da força não conservativa:
Exemplos de contexto onde isso vale:
- Um bloco escorregando com atrito na rampa (força não conservativa = atrito).
- Pêndulo com resistência do ar (força não conservativa = arrasto).
- Carro acelerando na pista, onde o motor aplica força não conservativa.