Seja um sistema que está sob a ação de duas forças conservativas e uma força não conservativa. Mostre que a taxa de variação da energia mecânica do sistema é igual ao trabalho da força não conservativa. Dê exemplos de um contexto onde este caso se encaixa.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um sistema em que agem duas forças conservativas (por exemplo, peso e alguma força elástica) e também uma força não conservativa (tipo atrito). A tarefa é mostrar que a variação da energia mecânica do sistema (energia cinética + energia potencial) é só o “trabalho” (ou potência) da força não conservativa. Ou seja, comprovar algo como
dErm mecdt ;=; Prm nc
onde é a taxa de trabalho da força não conservativa.
Matéria envolvida: Teorema trabalho–energia, definição de força conservativa vs. não conservativa, energia mecânica.
O que vamos precisar:
  1. Saberes básicos do teorema trabalho–energia ( ).
  2. Saber que para forças conservativas .
  3. Definir energia mecânica .

Passo 2

Primeiro, lembre do Teorema Trabalho–Energia: se uma força de age num corpo, seu trabalho infinitesimal é
dK = sumrm todas,as,forças Fcdot v,dt
Como dKdt = sumrm forças Fcdot v , a variação infinitesimal de energia cinética satisfaz
ç
Escrevendo isso em termos de taxa de variação,
ç

Passo 3

Agora, separamos a soma das forças em conservativas (duas delas, chamemos genericamente de dKdt = sumrm c Fccdot v + Fnccdot v ) e a não conservativa Fccdot v ;=; -dUdt . Logo
sumrm c Fccdot v = -dUdt
Mas para cada força conservativa , existe uma energia potencial tal que
Então a soma delas dá

Passo 4

Juntando tudo:
dKdt = -dUdt ;+; Fnccdot v
Passamos o dKdt + dUdt = Fnccdot v para o lado esquerdo e somamos com dErm mecdt = Fnccdot v equiv Prm nc :
Mas . Então

Resposta

A taxa de variação da energia mecânica do sistema é igual à potência (ou trabalho por unidade de tempo) da força não conservativa:
boxeddErm mecdt ;=; Fnccdot v
Exemplos de contexto onde isso vale:
  • Um bloco escorregando com atrito na rampa (força não conservativa = atrito).
  • Pêndulo com resistência do ar (força não conservativa = arrasto).
  • Carro acelerando na pista, onde o motor aplica força não conservativa.

Exercícios relacionados