Seja
e
soluções da equação de Bessel de ordem
, ou seja,
e
resolvem a Equação de Bessel definida abaixo:
Seja
o Wronskiano, ou seja,
.
a) Use a equação de Bessel para mostrar que
. Conclua que
, ou seja,
, para alguma constante
. (Dica: Derive
e substitua
e
por termos só envolvendo
).
b) Sabemos que as funções de Bessel são definidas como
Use esta expressão para mostrar que
e que
c) Mostre que se
e se
, então
. (Dica: Pelo item a), sabemos que
. Assim, vemos que
. Use o item b) para mostrar que
. O seguinte fato pode (e deve) ser usado sem demonstração:
).
d) Mostre que, para
, se
e
, então
. Lembremos que
(Dica: Use o resultado c)).
a) Use a equação de Bessel para mostrar que
b) Sabemos que as funções de Bessel são definidas como
d) Mostre que, para
Passo 1
O enunciado trata da equação de Bessel de ordem
:
e define o Wronskiano
Precisamos então:
- Mostrar que
e daí concluir . - Usar a série de
para obter os limites de e de quando . - Avaliar o Wronskiano de
e obtendo . - Com isso, calcular o Wronskiano de
e , lembrando
Passo 2
Derivando
vem
Pela equação de Bessel cada
satisfaz
Substituindo em
:
Logo
e portanto
com
constante.
Passo 3
Da definição em série
dividimos por
:
Para a derivada, derivamos termo a termo:
logo
Passo 4
Para
e
temos
e
Pelo comportamento assintótico de
e suas derivadas,
fazendo as contas de cada termo em , obtém-se
fazendo as contas de cada termo em
Logo
Passo 5
Para
temos
Como o Wronskiano é bilinear,
Resposta
(a)
, daí
.
(b) e
.
(c) .
(d) Para ,
.
(b)
(c)
(d) Para