Seja f1 e f2 soluções da equação de Bessel de ordem nu, ou seja, f1 e f2 resolvem a Equação de Bessel definida abaixo:
x^2 f^prime prime(x)+x f^prime(x)+(x^2-nu^2) f(x)=0
Seja W o Wronskiano, ou seja, W(x)=f1(x) f2^prime(x)-f2(x) f1^prime(x).
a) Use a equação de Bessel para mostrar que W^prime(x)=-W(x)x. Conclua que dd x(x W(x))=0, ou seja, W(x)=Cx, para alguma constante C>0. (Dica: Derive W e substitua f1^prime prime e f2^prime prime por termos só envolvendo f1, f1^prime, f2, f2^prime ).
b) Sabemos que as funções de Bessel são definidas como
Jnu(x)=sumk=0^infty (-1)^kk!Gamma(k+nu+1)(x2)^2 k+nu
Use esta expressão para mostrar que
lim x 0^+ Jnu(x)x^nu=12^nu Gamma(nu+1)
e que
lim x 0^+ x^-nu+1 d Jnu(x)d x=nu2^nu Gamma(nu+1)
c) Mostre que se f1=Jnu e se f2=J-nu, então W(x)=-2 sin (nu pi)pi x. (Dica: Pelo item a), sabemos que W(x)=Cx. Assim, vemos que C=lim x 0^+ x W(x). Use o item b) para mostrar que lim x 0^+ x W(x)=-2 sin (nu pi)pi. O seguinte fato pode (e deve) ser usado sem demonstração: Gamma(1+nu) Gamma(1-nu)=nu pisin (nu pi) ).
d) Mostre que, para nu notin Z, se f1=Jnu e f2=Ynu, então W(x)=2pi x. Lembremos que
Ynu(x)=cos (nu pi) Jnu(x)-J-nu(x)sin (nu pi)
(Dica: Use o resultado c)).

Passo 1

O enunciado trata da equação de Bessel de ordem nu:
x^2f''(x)+x,f'(x)+(x^2-nu^2),f(x)=0,
e define o Wronskiano
W(x)=f1(x)f2'(x)-f2(x)f1'(x)
Precisamos então:
  1. Mostrar que W'(x)=-tfrac1xW(x) e daí concluir W(x)=C/x.
  2. Usar a série de Jnu(x) para obter os limites de Jnu(x)/x^nu e de x^-nu+1Jnu'(x) quando xto0^+.
  3. Avaliar o Wronskiano de Jnu e J-nu obtendo W(x)=-tfrac2sin(nupi)pi x.
  4. Com isso, calcular o Wronskiano de Jnu e Ynu, lembrando
Ynu(x)=cos(nupi),Jnu(x)-J-nu(x)sin(nupi)

Passo 2

Derivando
W(x)=f1f2'-f2f1'
vem
W' = f1'f2'+f1f2'' - l(f2'f1'+f2f1''r) = f1f2'' - f2f1''
Pela equação de Bessel cada fi satisfaz
fi''=-1xfi' - x^2-nu^2x^2,fi
Substituindo em W':
W' = f1l(-tfrac1xf2'-tfracx^2-nu^2x^2f2r) - f2l(-tfrac1xf1'-tfracx^2-nu^2x^2f1r) = -1x(f1f2'-f2f1') = -1xW
Logo
ddxl(xW(x)r)=W+xW' = W - W =0,
e portanto
W(x)=Cx,
com C constante.

Passo 3

Da definição em série
Jnu(x) =sumk=0^infty(-1)^kk!,Gamma(k+nu+1)l(tfracx2r)^2k+nu,
dividimos por x^nu:
Jnu(x)x^nu =sumk=0^infty(-1)^kk!,Gamma(k+nu+1)l(tfracx2r)^2k undersetxto0longrightarrow 10!,Gamma(nu+1)l(tfrac12r)^nu =12^nu,Gamma(nu+1)
Para a derivada, derivamos termo a termo:
Jnu'(x) =sumk=0^infty(-1)^k(2k+nu)k!,Gamma(k+nu+1) l(tfracx2r)^2k+nu-112,
logo
x^-nu+1Jnu'(x) =sumk=0^infty(-1)^k(2k+nu)k!,Gamma(k+nu+1)l(tfracx2r)^2k undersetxto0longrightarrow nu0!,Gamma(nu+1)l(tfrac12r)^nu =nu2^nu,Gamma(nu+1)

Passo 4

Para f1=Jnu e f2=J-nu temos W(x)=C/x e
C=limxto0x,W(x) =limxto0xl[JnuJ-nu'-J-nuJnu'r]
Pelo comportamento assintótico de Jpmnu e suas derivadas,
fazendo as contas de cada termo em x^-1, obtém-se
C=-2,sin(nupi)pi l(usando Gamma(1+nu)Gamma(1-nu)=tfracnupisin(nupi)r)
Logo
W(Jnu,J-nu)(x)=-2,sin(nupi)pi,x

Passo 5

Para Ynu temos
Ynu =cos(nupi),Jnu-J-nusin(nupi)
Como o Wronskiano é bilinear,
Wl(Jnu,Ynur) =1sin(nupi) l(cos(nupi),W(Jnu,Jnu)-W(Jnu,J-nu)r) =-1sin(nupi)l(-tfrac2sin(nupi)pi xr) =2pi,x

Resposta

(a) W'(x)=-tfrac1xW(x), daí W(x)=C/x.
(b) limxto0^+Jnu(x)x^nu=12^nuGamma(nu+1) e
limxto0^+x^-nu+1Jnu'(x)=nu2^nuGamma(nu+1).
(c) W(Jnu,J-nu)(x)=-dfrac2sin(nupi)pi,x.
(d) Para nunotinZ, W(Jnu,Ynu)(x)=dfrac2pi,x.

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