Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções. Com base nesta definição, classifique as duplas de desigualdades apresentadas abaixo.
raizx-1<raiz2-x e x-2<1-x

Passo 1

O enunciado quer saber se as duas desigualdades
raizx-1<raiz2-x
e
;x-2<1-x
têm exatamente o mesmo conjunto de soluções. O conteúdo aqui é resolução de desigualdades que envolvem radicais (com domínio restrito) e desigualdade linear. Para decidir equivalência, vamos achar os conjuntos-solução de cada uma e compará-los.

Passo 2

Resolvendo raizx-1<raiz2-x:
  1. Domínio: precisamos ter
x-1>=0e2-x>=0,
isto é, 1<= x<=2.
2. Como os dois lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem inverter sinal:
x-1<2-x
  1. Reorganizando:
2x<3Longrightarrow x<tfrac32
  1. Unindo com o domínio, a solução é
S1 = [1,tfrac32)

Passo 3

Resolvendo x-2<1-x:
  1. Esta é uma desigualdade linear sem restrição de domínio, basta isolar x:
x-2<1-x Longrightarrow 2x<3 Longrightarrow x<tfrac32
  1. Logo o conjunto-solução é
S2 = (-infty,tfrac32)

Passo 4

Comparando S1=[1,tfrac32) com S2=(-infty,tfrac32), vemos que eles são diferentes (por exemplo, 0in S2 mas 0notin S1). Portanto, as desigualdades não são equivalentes.

Resposta

As desigualdades não são equivalentes.

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