Esboce a região R delimitada pelas curvas y=2 sen x, y=tan x para 0 <= x<pi / 2. Expresse por meio de integrais o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno da reta indicada:
x=2.

Passo 1

O enunciado pede a região R no plano xy limitada pelas curvas
y = 2sin x, y = tan x
no intervalo 0 <= x < tfracpi2, e depois o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta x=2. Vamos: (a) encontrar onde as curvas se cruzam, (b) identificar quem está “por cima” de quem, e (c) montar a integral de volume usando o método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

Para achar as interseções, resolvemos
2sin x = tan x = sin xcos x
multiplicando por cos x (que é positivo em 0<= x<tfracpi2) obtém-se
2sin xcos x = sin x ;;Longrightarrow;; sin xl(2cos x -1r)=0
Logo sin x=0Rightarrow x=0 ou 2cos x-1=0Rightarrow cos x=tfrac12Rightarrow x=tfracpi3.

Passo 3

No intervalo 0<x<tfracpi3 temos
2sin x>tan x,
pois para pequenos x, 2sin xapprox2x e tan xapprox x. Portanto a região R é
(x,y)mid 0<= x<= tfracpi3,;tan x<= y<= 2sin x
Um esboço: curva y=tan x cresce mais rápido e fica “abaixo” até x=pi/3, onde ambas se encontram de novo.

Passo 4

Ao girar em torno da reta vertical x=2, o método dos cascos cilíndricos diz que, para cada fatia em x, o raio do casco é
R(x)=l|2-xr|=2-x
(ele é positivo porque 0<= x<=pi/3<2), e a altura do casco é a diferença entre as curvas:
h(x)=l(2sin xr)-l(tan xr)

Passo 5

A fórmula do volume por cascos é
V =2piintegralx=0^x=pi/3R(x),h(x),dx =2piintegral0^pi/3(2-x)l(2sin x-tan xr),dx

Resposta

V =2pi integral0^pi/3 (2 - x)l(2sin x - tan xr) ,dx

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