Esboce a região delimitada pelas curvas para . Expresse por meio de integrais o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada:
x=2.
Passo 1
O enunciado pede a região no plano limitada pelas curvas
no intervalo , e depois o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta . Vamos: (a) encontrar onde as curvas se cruzam, (b) identificar quem está “por cima” de quem, e (c) montar a integral de volume usando o método dos cascos cilíndricos.
Passo 2
Para achar as interseções, resolvemos
multiplicando por (que é positivo em ) obtém-se
Logo ou .
Passo 3
No intervalo temos
pois para pequenos , e . Portanto a região é
Um esboço: curva cresce mais rápido e fica “abaixo” até , onde ambas se encontram de novo.
Passo 4
Ao girar em torno da reta vertical , o método dos cascos cilíndricos diz que, para cada fatia em , o raio do casco é
(ele é positivo porque 0<= x<=pi/3<2), e a altura do casco é a diferença entre as curvas:
h(x)=l(2sin xr)-l(tan xr)
Passo 5
A fórmula do volume por cascos é
V =2piintegralx=0^x=pi/3R(x),h(x),dx =2piintegral0^pi/3(2-x)l(2sin x-tan xr),dx
Resposta
V =2pi integral0^pi/3 (2 - x)l(2sin x - tan xr) ,dx