Seja
. Para quais valores de p a série
converge?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para quais valores de
a série
converge. Informação relevante dada: expressão explícita de
. A pergunta única é determinar o conjunto de
(entre as opções fornecidas) que garante convergência da série.
Passo 2
Transformar
de forma que fique mais fácil analisar seu comportamento para
grande. Use a racionalização (diferença de raízes):
Expliquei cada passo: multiplicou-se numerador e denominador por
e calculou a diferença no numerador, que é
.
Passo 3
Obter o comportamento assintótico de
quando
. Fatore
no denominador:
Para
tem-se
e
, logo o parêntese tende a
. Portanto
isto é, para
grande
Aqui
significa que o quociente entre
e
tende a
.
Passo 4
Deduzir o comportamento de
. Elevando a expressão assintótica à potência
:
Ou seja, a série
se comporta, para
grande, como uma constante multiplicando a série de termos
.
Passo 5
Recordar o critério da série-p (p-series): a série
converge se, e somente se,
; diverge para
. Pelo comportamento assintótico obtido, aplicar comparação (ou teste da comparação limite) com a série
. Assim a série
converge exatamente quando
Passo 6
Verificar casos-limite e sinais:
- Se
então os termos são assintoticamente constantes vezes , ou seja a série é harmônica e diverge. - Se
com positivo, o expoente e a série diverge por comparação com série-p divergente. - Se
(ou seja negativo), então e como os termos não tendem a zero (na verdade crescem), logo a série diverge imediatamente (série com termos que não vão a zero diverge).
Portanto a condição necessária e suficiente é
.
Resposta
f.