Seja A_{n}=\sqrt{n+14}-\sqrt{n+11}. Para quais valores de p a série \sum_{n=1}^{\infty}=A_{n}^{p / 7} converge?
Escolha uma opção:
a. p \geqslant 16
b. p \geqslant 14
c. \mathrm{p} \geqslant 28
d. \mathrm{p} \leqslant-14
e. \mathrm{p}>16
f. \mathrm{p}>14
g. \mathrm{p}>28
h. \mathrm{p}<-16
i. \mathrm{p}<-14
j. \mathrm{p} \leqslant-16

Passo 1

O enunciado dá a sequência
A_{n}=\sqrt{n+14}-\sqrt{n+11}
e pede para quais valores de p a série
\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}^{p/7}
converge. Informação relevante dada: expressão explícita de A_{n}. A pergunta única é determinar o conjunto de p (entre as opções fornecidas) que garante convergência da série.

Passo 2

Transformar A_{n} de forma que fique mais fácil analisar seu comportamento para n grande. Use a racionalização (diferença de raízes):
A_{n}=\sqrt{n+14}-\sqrt{n+11}=\frac{(n+14)-(n+11)}{\sqrt{n+14}+\sqrt{n+11}}=\frac{3}{\sqrt{n+14}+\sqrt{n+11}}.
Expliquei cada passo: multiplicou-se numerador e denominador por \sqrt{n+14}+\sqrt{n+11} e calculou a diferença no numerador, que é 3.

Passo 3

Obter o comportamento assintótico de A_{n} quando n\to\infty. Fatore \sqrt{n} no denominador:
A_{n}=\frac{3}{\sqrt{n}\big(\sqrt{1+\tfrac{14}{n}}+\sqrt{1+\tfrac{11}{n}}\big)}.
Para n\to\infty tem-se \sqrt{1+\tfrac{14}{n}}\to1 e \sqrt{1+\tfrac{11}{n}}\to1, logo o parêntese tende a 2. Portanto
\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\,A_{n}=\frac{3}{2},
isto é, para n grande
A_{n}\sim \frac{3}{2}\,n^{-1/2}.
Aqui \sim significa que o quociente entre A_{n} e \tfrac{3}{2}n^{-1/2} tende a 1.

Passo 4

Deduzir o comportamento de A_{n}^{p/7}. Elevando a expressão assintótica à potência p/7:
A_{n}^{p/7}\sim\Big(\frac{3}{2}\Big)^{p/7} n^{-p/14}.
Ou seja, a série \sum A_{n}^{p/7} se comporta, para n grande, como uma constante multiplicando a série de termos n^{-p/14}.

Passo 5

Recordar o critério da série-p (p-series): a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}
converge se, e somente se, s>1; diverge para s\le 1. Pelo comportamento assintótico obtido, aplicar comparação (ou teste da comparação limite) com a série \sum n^{-p/14}. Assim a série \sum A_{n}^{p/7} converge exatamente quando
\frac{p}{14}>1 \quad\Longleftrightarrow\quad p>14.

Passo 6

Verificar casos-limite e sinais:
  • Se p=14 então os termos são assintoticamente constantes vezes n^{-1}, ou seja a série é harmônica e diverge.
  • Se p<14 com p positivo, o expoente p/14\le1 e a série diverge por comparação com série-p divergente.
  • Se p<0 (ou seja p negativo), então A_{n}^{p/7}\sim(3/2)^{p/7}n^{-p/14} e como -p/14>0 os termos não tendem a zero (na verdade crescem), logo a série diverge imediatamente (série com termos que não vão a zero diverge).
Portanto a condição necessária e suficiente é p>14.

Resposta

f. p>14

Exercícios relacionados