Represente graficamente as quádricas abaixo (use o GeoGebra), determinando sua equação na forma canônica (reduzida) e identificando cada uma delas:
-x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
-x^{2}+4y^{2}+z^{2}=0
e pede três coisas: representar graficamente (usar GeoGebra), determinar a equação na forma canônica (reduzida) e identificar a quádricas obtida. Informações úteis que temos: a equação é homogênea de grau 2 (sem termos lineares nem constantes), portanto a superfície passa pela origem e tem vértice na origem. A representação gráfica deve mostrar a superfície em 3D.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a equação para uma forma diagonal simples (forma canônica). Uma forma canônica útil é aquela em que os coeficientes das variáveis são apenas +1, -1 ou 0. Começo multiplicando a equação por -1 para obter o termo x^{2} positivo:
x^{2}-4y^{2}-z^{2}=0.
Isto facilita ver a assinatura do termo quadrático (um sinal positivo e dois sinais negativos).

Passo 3

Agora faço uma mudança de escala nas variáveis para normalizar os coeficientes dos termos em y^{2} e z^{2}. Defino novas variáveis
u = x,\qquad v = 2y,\qquad w = z.
Explicação do porquê: como temos 4y^{2}, substituir v=2y v^{2}=4y^{2}, o que iguala os coeficientes negativos dos termos em v^{2} e w^{2} (após multiplicar por -1). Substituindo na equação obtemos
u^{2}-v^{2}-w^{2}=0.

Passo 4

A equação
u^{2}-v^{2}-w^{2}=0
é a forma canônica (reduzida) da quádricas obtida (em coordenadas (u,v,w) relacionadas com (x,y,z) por u=x,\\ v=2y,\\ w=z). Essa equação é a equação de um cone quádruplo (duas nápses/opostas) com vértice na origem. Para classificar com precisão na linguagem comum das quádricas: trata-se de um cone quadrático do tipo elíptico (às vezes chamado de cone duplo ou cone elíptico), com eixo paralelo ao eixo u (isto é, ao eixo x nas coordenadas originais).

Passo 5

Para entender geometricamente por que é um cone: escrevemos a equação original como
x^{2}=4y^{2}+z^{2}.
Para cada valor fixo de x\neq0 a seção transversal por x=const é a curva no plano (y,z) dada por
4y^{2}+z^{2}=x^{2},
que é uma elipse com semi-eixos \dfrac{|x|}{2} (na direção y) e |x| (na direção z). Como essas elipses se contraem até um ponto quando x\to0 (origem) e crescem linearmente com |x|, a superfície é um cone de duas nappes cujo vértice está em (0,0,0) e que se abre ao longo dos dois sentidos do eixo x.

Passo 6

Uma parametrização simples (útil para plotar) que gera toda a superfície é: tome parâmetros t\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi) e defina
x=t,\qquad y=\frac{t}{2}\cos\theta,\qquad z=t\sin\theta.
Verificação rápida: substituindo na equação original
-x^{2}+4y^{2}+z^{2}= -t^{2} + 4\left(\frac{t}{2}\cos\theta\right)^{2} + \left(t\sin\theta\right)^{2} = -t^{2} + t^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=0,
logo a parametrização está correta e produz ambas as nappes quando t varia em \mathbb{R}.

Passo 7

Como informação prática para o GeoGebra (passo a passo de como representar):
  • Abrir a vista 3D (3D Graphics).
  • Duas maneiras simples de inserir a superfície:
    1. Inserção implícita (mais direta): na barra de entrada escrever (uma das opções abaixo, dependendo do GeoGebra) -x^{2}+4y^{2}+z^{2}=0ou, se for necessário usar * para multiplicação no seu GeoGebra:
      -x^2 + 4*y^2 + z^2 = 0
    2. Inserção paramétrica (mais controle sobre parâmetros e domínio): usar a superfície parametrizada com sintaxe GeoGebra, por exemplo
      Surface (t,\,(t/2)\cos(u),\,t\sin(u)),\\ t,-2,2,\\ u,0,2\pi
      (ajuste o intervalo de t para visualizar mais ou menos extensão, por exemplo t\in[-3,3]).
  • Ajustar opacidade e malha para visualizar melhor as duas nappes.
  • Para ajudar a visualizar as geratrizes, desenhar as interseções com os planos coordenados:
    • Plano y=0: interseção dá as retas z=\pm x.
    • Plano z=0: interseção dá as retas x=\pm 2y.
    • Plano x=0: interseção é só a origem (ponto).
      Essas retas mostram as direções dos geradores do cone.

Passo 8

Resumo geométrico e propriedades úteis (para a prova):
  • Vértice: (0,0,0).
  • Eixo do cone: eixo x (abertura simétrica para +x e -x).
  • Seção por x=c com c\neq0: elipse 4y^{2}+z^{2}=c^{2} (semi-eixos |c|/2 e |c|).
  • A superfície é um cone duplo (duas nappes), chamado especificamente de cone elíptico porque as seções transversais são elipses (não círculos) nas coordenadas originais.

Resposta

Forma canônica reduzida: u^{2}-v^{2}-w^{2}=0 com a mudança u=x,\\ v=2y,\\ w=z.
Identificação: cone quádruplo (cone duplo) do tipo elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo paralelo ao eixo x.
Parametrização útil para plot: x=t,\\ y=\dfrac{t}{2}\cos\theta,\\ z=t\sin\theta com t\in\mathbb{R},\\ \theta\in[0,2\pi).

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