Represente graficamente as quádricas abaixo (use o GeoGebra), determinando sua equação na forma canônica (reduzida) e identificando cada uma delas:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede três coisas: representar graficamente (usar GeoGebra), determinar a equação na forma canônica (reduzida) e identificar a quádricas obtida. Informações úteis que temos: a equação é homogênea de grau 2 (sem termos lineares nem constantes), portanto a superfície passa pela origem e tem vértice na origem. A representação gráfica deve mostrar a superfície em 3D.
Passo 2
Primeiro vamos transformar a equação para uma forma diagonal simples (forma canônica). Uma forma canônica útil é aquela em que os coeficientes das variáveis são apenas
,
ou
. Começo multiplicando a equação por
para obter o termo
positivo:
Isto facilita ver a assinatura do termo quadrático (um sinal positivo e dois sinais negativos).
Passo 3
Agora faço uma mudança de escala nas variáveis para normalizar os coeficientes dos termos em
e
. Defino novas variáveis
Explicação do porquê: como temos
, substituir
dá
, o que iguala os coeficientes negativos dos termos em
e
(após multiplicar por
). Substituindo na equação obtemos
Passo 4
A equação
é a forma canônica (reduzida) da quádricas obtida (em coordenadas
relacionadas com
por
). Essa equação é a equação de um cone quádruplo (duas nápses/opostas) com vértice na origem. Para classificar com precisão na linguagem comum das quádricas: trata-se de um cone quadrático do tipo elíptico (às vezes chamado de cone duplo ou cone elíptico), com eixo paralelo ao eixo
(isto é, ao eixo
nas coordenadas originais).
Passo 5
Para entender geometricamente por que é um cone: escrevemos a equação original como
Para cada valor fixo de
a seção transversal por
const é a curva no plano
dada por
que é uma elipse com semi-eixos
(na direção
) e
(na direção
). Como essas elipses se contraem até um ponto quando
(origem) e crescem linearmente com
, a superfície é um cone de duas nappes cujo vértice está em
e que se abre ao longo dos dois sentidos do eixo
.
Passo 6
Uma parametrização simples (útil para plotar) que gera toda a superfície é: tome parâmetros
e
e defina
Verificação rápida: substituindo na equação original
logo a parametrização está correta e produz ambas as nappes quando
varia em
.
Passo 7
Como informação prática para o GeoGebra (passo a passo de como representar):
- Abrir a vista 3D (3D Graphics).
- Duas maneiras simples de inserir a superfície:
- Inserção implícita (mais direta): na barra de entrada escrever (uma das opções abaixo, dependendo do GeoGebra)
ou, se for necessário usar *para multiplicação no seu GeoGebra:
-x^2 + 4*y^2 + z^2 = 0 - Inserção paramétrica (mais controle sobre parâmetros e domínio): usar a superfície parametrizada com sintaxe GeoGebra, por exemplo
Surface
(ajuste o intervalo depara visualizar mais ou menos extensão, por exemplo ).
- Inserção implícita (mais direta): na barra de entrada escrever (uma das opções abaixo, dependendo do GeoGebra)
- Ajustar opacidade e malha para visualizar melhor as duas nappes.
- Para ajudar a visualizar as geratrizes, desenhar as interseções com os planos coordenados:
- Plano
: interseção dá as retas . - Plano
: interseção dá as retas . - Plano
: interseção é só a origem (ponto).
Essas retas mostram as direções dos geradores do cone.
- Plano
Passo 8
Resumo geométrico e propriedades úteis (para a prova):
- Vértice:
. - Eixo do cone: eixo
(abertura simétrica para e ). - Seção por
com : elipse (semi-eixos e ). - A superfície é um cone duplo (duas nappes), chamado especificamente de cone elíptico porque as seções transversais são elipses (não círculos) nas coordenadas originais.
Resposta
Forma canônica reduzida:
com a mudança
.
Identificação: cone quádruplo (cone duplo) do tipo elíptico com vértice em e eixo paralelo ao eixo
.
Parametrização útil para plot: com
.
Identificação: cone quádruplo (cone duplo) do tipo elíptico com vértice em
Parametrização útil para plot: