Represente graficamente as quádricas abaixo (use o GeoGebra), determinando sua equação na forma canônica (reduzida) e identificando cada uma delas:
-x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=0
Passo 1
O enunciado dá a equação da quádrica
-x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=0
e pede que eu a represente graficamente (usando GeoGebra), determine sua equação na forma canônica (reduzida) e identifique que tipo de superfície é.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação é um polinômio homogêneo de grau 2 (não há termos lineares nem constantes).
Os coeficientes na forma diagonal são -1, 2 e 3.
O que preciso entregar:
A forma canônica (reduzida) da quádrica.
A identificação do tipo da quádrica (cone, paraboloide, hiperbólico, elipsoide etc.).
Orientação de como representá-la no GeoGebra (com um parâmetro/como inserir).
Passo 2
Interpretação inicial e ideia geral (sem resolver ainda): quando a equação quadrática é homogênea do tipo
Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}=0
com A,B,C não nulos e sinais diferentes (pelo menos um coeficiente positivo e outro negativo), a superfície normalmente é um cone quadrático com vértice na origem. Vou confirmar isso analisando a forma quadrática por meio da matriz associada e da assinatura (nº de autovalores positivos/negativos), que é o procedimento padrão para classificar quadricas.
Passo 3
Matriz associada à forma quadrática e autovalores: a forma quadrática pode ser escrita como \mathbf{x}^{T}Q\mathbf{x} com \mathbf{x}=(x,y,z). Para a equação dada a matriz simétrica é diagonal:
Como Q é diagonal, os autovalores são simplesmente as entradas da diagonal: \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3.]
Passo 4
Classificação pela assinatura (Lei de Sylvester, explicada): a assinatura é o par formado pelo número de autovalores positivos e o número de autovalores negativos. Aqui há dois autovalores positivos (2 e 3) e um negativo (-1). Isso indica que a forma é indefinida (tem sinais diferentes) e não degenerada (nenhum autovalor zero). Resultado: a superfície definida por
-x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=0
é um cone quadrático com vértice em (0,0,0). Intuitivamente: para x\neq 0 a equação pode ser rearranjada em
2y^{2}+3z^{2}=x^{2},
que mostra que, para cada valor fixo de x\neq 0, a interseção com o plano x=\text{const} é uma elipse; ao deixar x variar com sinal positivo e negativo obtém-se as duas “folhas” do cone (duas nappes) simétricas em relação à origem.
Passo 5
Obter a forma canônica (reduzida) — passo a passo didático: como não há termos mistos (xy,yz,xz) nem termos lineares, a matriz já está diagonal e os eixos coordenados são eixos principais. Para simplificar a aparência e obter coeficientes \pm1, faço mudanças de variável que escalam y e z:
definindo
X:=x,\qquad Y:=\sqrt{2}\,y,\qquad Z:=\sqrt{3}\,z,
substituo na equação original. Então:
-x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=-X^{2}+Y^{2}+Z^{2}.
A forma canônica (com coeficientes iguais a \pm1) é
- X^{2} + Y^{2} + Z^{2} = 0.
Essa é a forma reduzida desejada. Reescrevendo isolando o termo positivo do lado direito, obtém-se a expressão clássica do cone:
Y^{2}+Z^{2}=X^{2}.
Passo 6
Interpretação geométrica final (didática e com exemplos): a equação \;Y^{2}+Z^{2}=X^{2}\; descreve um cone circular reto com eixo ao longo do eixo X (abre simetricamente para X>0 e X<0). Como Y=\sqrt{2}\,y e Z=\sqrt{3}\,z, na coordenada original (x,y,z) esse cone se apresenta como um cone “elíptico” (as seções transversais x= constante são elipses de eixos proporcionais a 1/\sqrt{2} e 1/\sqrt{3}). Exemplos de seções úteis para visualizar:
Seção x=1: 2y^{2}+3z^{2}=1 (elipse).
Seção y=0: -x^{2}+3z^{2}=0 → 3z^{2}=x^{2} → reta dupla z=\pm\frac{x}{\sqrt{3}} (interseção degenerada como duas retas passando pela origem quando se fixa y=0).
Esses cortes ajudam a desenhar “fatias” do cone na prova para explicar a forma.
Passo 7
Parametrização (útil para desenhar e para o GeoGebra). Uma parametrização conveniente que gera a superfície inteira é tomar um parâmetro radial t\in\mathbb{R}\) (distância ao longo do eixo \(x\)) e um ângulo \(\theta\in[0,2\pi)\):
\[\begin{cases} x(t,\theta) = t,\\[4pt] y(t,\theta) = \dfrac{t}{\sqrt{2}}\cos\theta,\\[6pt] z(t,\theta) = \dfrac{t}{\sqrt{3}}\sin\theta. \end{cases}
Verificação rápida: substituindo na equação original,
ajustando o intervalo de t (por exemplo -3 a 3) para visualizar uma porção adequadamente grande do cone.
Dicas visuais: desenhar também as seções x=1 (2y^{2}+3z^{2}=1) e x=-1 para ver as elipses de corte; usar malha transparente para ver o interior; ajustar iluminação e opacidade para melhor percepção da forma.
Passo 9
Resumo didático final — como identificar esse tipo de questão na prova:
Se a forma quadrática for homogênea e tiver autovalores de sinais diferentes (sem autovalores zero), espere um cone com vértice na origem.
Se o polinômio já estiver sem termos mistos e diagonal, basta olhar os sinais dos coeficientes: todos do mesmo sinal → elipsoide (se =1), um zero → cone degenerado ou cilindro, sinais diferentes → cone/hiperboloide dependendo de const term; quando o lado iguala zero e há sinais opostos → cone.
Para a forma canônica tente escalonar variáveis para tornar coeficientes iguais a \pm1; isso facilita identificar se é cone circular (após escala torna-se circular) ou cone elíptico na base original.
Resposta
Forma canônica (reduzida): -X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0 com X=x,\;Y=\sqrt{2}\,y,\;Z=\sqrt{3}\,z.
Identificação: é um cone quadrático (cone elíptico, com eixo ao longo do eixo x, aberto nas direções x>0 e x<0).