Represente graficamente as quádricas abaixo (use o GeoGebra), determinando sua equação na forma canônica (reduzida) e identificando cada uma delas:
-x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da quádrica
-x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=0
e pede que eu a represente graficamente (usando GeoGebra), determine sua equação na forma canônica (reduzida) e identifique que tipo de superfície é.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é um polinômio homogêneo de grau 2 (não há termos lineares nem constantes).
  • Os coeficientes na forma diagonal são -1, 2 e 3.
    O que preciso entregar:
  • A forma canônica (reduzida) da quádrica.
  • A identificação do tipo da quádrica (cone, paraboloide, hiperbólico, elipsoide etc.).
  • Orientação de como representá-la no GeoGebra (com um parâmetro/como inserir).

Passo 2

Interpretação inicial e ideia geral (sem resolver ainda): quando a equação quadrática é homogênea do tipo
Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}=0
com A,B,C não nulos e sinais diferentes (pelo menos um coeficiente positivo e outro negativo), a superfície normalmente é um cone quadrático com vértice na origem. Vou confirmar isso analisando a forma quadrática por meio da matriz associada e da assinatura (nº de autovalores positivos/negativos), que é o procedimento padrão para classificar quadricas.

Passo 3

Matriz associada à forma quadrática e autovalores: a forma quadrática pode ser escrita como \mathbf{x}^{T}Q\mathbf{x} com \mathbf{x}=(x,y,z). Para a equação dada a matriz simétrica é diagonal:
Q=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Como Q é diagonal, os autovalores são simplesmente as entradas da diagonal: \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3.]

Passo 4

Classificação pela assinatura (Lei de Sylvester, explicada): a assinatura é o par formado pelo número de autovalores positivos e o número de autovalores negativos. Aqui há dois autovalores positivos ( 2 e 3) e um negativo ( -1). Isso indica que a forma é indefinida (tem sinais diferentes) e não degenerada (nenhum autovalor zero). Resultado: a superfície definida por
-x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=0
é um cone quadrático com vértice em (0,0,0). Intuitivamente: para x\neq 0 a equação pode ser rearranjada em
2y^{2}+3z^{2}=x^{2},
que mostra que, para cada valor fixo de x\neq 0, a interseção com o plano x=\text{const} é uma elipse; ao deixar x variar com sinal positivo e negativo obtém-se as duas “folhas” do cone (duas nappes) simétricas em relação à origem.

Passo 5

Obter a forma canônica (reduzida) — passo a passo didático: como não há termos mistos ( xy,yz,xz) nem termos lineares, a matriz já está diagonal e os eixos coordenados são eixos principais. Para simplificar a aparência e obter coeficientes \pm1, faço mudanças de variável que escalam y e z:
definindo
X:=x,\qquad Y:=\sqrt{2}\,y,\qquad Z:=\sqrt{3}\,z,
substituo na equação original. Então:
-x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=-X^{2}+Y^{2}+Z^{2}.
A forma canônica (com coeficientes iguais a \pm1) é
- X^{2} + Y^{2} + Z^{2} = 0.
Essa é a forma reduzida desejada. Reescrevendo isolando o termo positivo do lado direito, obtém-se a expressão clássica do cone:
Y^{2}+Z^{2}=X^{2}.

Passo 6

Interpretação geométrica final (didática e com exemplos): a equação \;Y^{2}+Z^{2}=X^{2}\; descreve um cone circular reto com eixo ao longo do eixo X (abre simetricamente para X>0 e X<0). Como Y=\sqrt{2}\,y e Z=\sqrt{3}\,z, na coordenada original (x,y,z) esse cone se apresenta como um cone “elíptico” (as seções transversais x= constante são elipses de eixos proporcionais a 1/\sqrt{2} e 1/\sqrt{3}). Exemplos de seções úteis para visualizar:
  • Seção x=1: 2y^{2}+3z^{2}=1 (elipse).
  • Seção y=0: -x^{2}+3z^{2}=0 3z^{2}=x^{2} → reta dupla z=\pm\frac{x}{\sqrt{3}} (interseção degenerada como duas retas passando pela origem quando se fixa y=0).
    Esses cortes ajudam a desenhar “fatias” do cone na prova para explicar a forma.

Passo 7

Parametrização (útil para desenhar e para o GeoGebra). Uma parametrização conveniente que gera a superfície inteira é tomar um parâmetro radial t\in\mathbb{R}\) (distância ao longo do eixo \(x\)) e um ângulo \(\theta\in[0,2\pi)\): \[\begin{cases} x(t,\theta) = t,\\[4pt] y(t,\theta) = \dfrac{t}{\sqrt{2}}\cos\theta,\\[6pt] z(t,\theta) = \dfrac{t}{\sqrt{3}}\sin\theta. \end{cases}
Verificação rápida: substituindo na equação original,
-x^{2}+2y^{2}+3z^{2} = -t^{2} + 2\left(\dfrac{t^{2}}{2}\cos^{2}\theta\right) + 3\left(\dfrac{t^{2}}{3}\sin^{2}\theta\right) = -t^{2} + t^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=0.
Essa parametrização produz as duas nappes do cone ao permitir (t] positivo e negativo.]

Passo 8

Como desenhar no GeoGebra (instruções passo a passo):
  • Abrir a vista 3D do GeoGebra.
  • Opção 1 (mais simples): inserir a equação implícita diretamente na entrada. Digitar exatamente:
\text{-x^2 + 2*y^2 + 3*z^2 = 0}
(no GeoGebra é aceito inserir a equação implícita; usar * para multiplicação se necessário).
  • Opção 2 (usando parametrização): inserir uma superfície paramétrica. No campo de entrada do GeoGebra 3D usar algo como
\text{Surface}\!\big(t,\; \tfrac{t}{\sqrt{2}}\cos(u),\; \tfrac{t}{\sqrt{3}}\sin(u),\; t,-3,3,\; u,0,2\pi\big)
ajustando o intervalo de t (por exemplo -3 a 3) para visualizar uma porção adequadamente grande do cone.
  • Dicas visuais: desenhar também as seções x=1 ( 2y^{2}+3z^{2}=1) e x=-1 para ver as elipses de corte; usar malha transparente para ver o interior; ajustar iluminação e opacidade para melhor percepção da forma.

Passo 9

Resumo didático final — como identificar esse tipo de questão na prova:
  • Se a forma quadrática for homogênea e tiver autovalores de sinais diferentes (sem autovalores zero), espere um cone com vértice na origem.
  • Se o polinômio já estiver sem termos mistos e diagonal, basta olhar os sinais dos coeficientes: todos do mesmo sinal → elipsoide (se =1), um zero → cone degenerado ou cilindro, sinais diferentes → cone/hiperboloide dependendo de const term; quando o lado iguala zero e há sinais opostos → cone.
  • Para a forma canônica tente escalonar variáveis para tornar coeficientes iguais a \pm1; isso facilita identificar se é cone circular (após escala torna-se circular) ou cone elíptico na base original.

Resposta

Forma canônica (reduzida): -X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0 com X=x,\;Y=\sqrt{2}\,y,\;Z=\sqrt{3}\,z.
Identificação: é um cone quadrático (cone elíptico, com eixo ao longo do eixo x, aberto nas direções x>0 e x<0).

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