Seja a_{n}=\sqrt{n+15}-\sqrt{n+4}. Para quais valores de p a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}{ }^{p / 5} converge?
Escolha uma opção:
a. p \geqslant 28
b. \quad p>28
c. p \geqslant 15
d. p>10
e. p \geqslant 10
f. p<-28
g. p<-10
h. \quad p>15
i. \quad p \leqslant-28
j. \quad p \leqslant-10

Passo 1

O enunciado define a sequência \displaystyle a_{n}=\sqrt{n+15}-\sqrt{n+4}
e pergunta para quais p a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{\,p/5}
converge. Vamos usar racionalização para achar o comportamento de a_{n} para n\to\infty e comparar com uma série do tipo \sum n^{-s} (série- p).

Passo 2

Racionalizamos a diferença:
a_{n} =\sqrt{n+15}-\sqrt{n+4} =\frac{(\sqrt{n+15}-\sqrt{n+4})(\sqrt{n+15}+\sqrt{n+4})}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+4}} =\frac{(n+15)-(n+4)}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+4}} =\frac{11}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+4}}.

Passo 3

Para n grande, \sqrt{n+15} e \sqrt{n+4} são ambas ~ \sqrt{n}, então
a_{n}\sim \frac{11}{2\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad a_{n}=O\bigl(n^{-1/2}\bigr).

Passo 4

Logo
a_{n}^{\,p/5}\sim\Bigl(C\,n^{-1/2}\Bigr)^{p/5} =C'\,n^{-\,p/10},
onde C,C'>0 são constantes. Assim a série se comporta como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^{-\,p/10}.

Passo 5

Pela convergência da série- p, \sum n^{-s} converge se e somente se s>1. Aqui precisamos
\frac{p}{10}>1 \quad\Longrightarrow\quad p>10.

Resposta

(d) p>10

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