Questão 4: Considere as seguintes matrizes:
\begin{aligned} A & =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 6 & 7 \end{array}\right] & D & =\left[\begin{array}{ccc} -6 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 \\\\ -6 & 0 & 6 \end{array}\right] \\\ B & =\left[\begin{array}{cc} 0 & 4 \\\\ 2 & -8 \end{array}\right] & & E=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 9 & -9 \\\\ -1 & 0 & -4 \\\\ -6 & 0 & -1 \end{array}\right] \\\ C & =\left[\begin{array}{ccc} -6 & 9 & -7 \\\\ 7 & -3 & -2 \end{array}\right] & & \end{aligned}
Se for possível, calcule:
Suas inversas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as inversas das matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 6 & 7\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 4\\\ 2 & -8\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}-6 & 9 & -7\\\ 7 & -3 & -2\end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix}-6 & 4 & 0\\\ 1 & 1 & 4\\\ -6 & 0 & 6\end{pmatrix},\quad E = \begin{pmatrix}6 & 9 & -9\\\ -1 & 0 & -4\\\ -6 & 0 & -1\end{pmatrix}.
O conteúdo principal é “inversa de matriz”. Para matrizes 2\times2 usaremos a fórmula
\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}^{-1} =\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{pmatrix}
sempre que o determinante ad-bc\neq0. Para matrizes 3\times3 calculamos o determinante e a matriz dos cofatores, depois transposta (adjunta) e dividimos pelo determinante. Matrizes não quadradas não têm inversa.

Passo 2

Calcular A^{-1}.
O determinante é
\det(A)=2\cdot7-0\cdot6=14\neq0.
Pela fórmula de 2\times2,
A^{-1}=\frac1{14}\begin{pmatrix}7 & 0\\\ -6 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac7{14} & 0\\[6pt]-\tfrac6{14} & \tfrac2{14}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac12 & 0\\[3pt]-\tfrac{3}{7} & \tfrac{1}{7}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular B^{-1}.
O determinante é
\det(B)=0\cdot(-8)-4\cdot2=-8\neq0.
Logo
B^{-1}=\frac1{-8}\begin{pmatrix}-8 & -4\\\ -2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\[3pt]\tfrac14 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz C é 2\times3, não quadrada. Portanto não existe C^{-1}.

Passo 5

Calcular D^{-1}.
Primeiro o determinante, expandindo pela primeira linha:
\det(D)=-6\det\begin{pmatrix}1&4\\\ 0&6\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}1&4\\\ -6&6\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) =-6\cdot6-4\cdot30=-36-120=-156\neq0.
Em seguida formamos a matriz dos cofatores C_{ij}, transpondo para obter a adjunta, e dividimos por -156. O resultado é
D^{-1}=\frac1{-156} \begin{pmatrix} 6 & -24 & 16\\\\ -30 & -36 & 24\\\\ 6 & -24 & -10 \end{pmatrix}^{T} =\frac1{-156} \begin{pmatrix} 6 & -30 & 6\\\\ -24 & -36 & -24\\\\ 16 & 24 & -10 \end{pmatrix}
que simplifica a
D^{-1} =\begin{pmatrix} -\tfrac1{26} & \tfrac5{26} & -\tfrac1{26}\\[3pt] \tfrac2{13} & \tfrac3{13} & \tfrac2{13}\\[3pt] -\tfrac4{39} & -\tfrac2{13} & \tfrac5{78} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular E^{-1}.
O determinante, pela primeira linha, é
\det(E) =6\det\begin{pmatrix}0&-4\\\ 0&-1\end{pmatrix} -9\det\begin{pmatrix}-1&-4\\\ -6&-1\end{pmatrix} -9\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ -6&0\end{pmatrix} =0-9(-23)+0=207\neq0.
Após calcular cofatores e transpor, obtém-se
E^{-1}=\frac1{207} \begin{pmatrix} 0 & 9 & -36\\\\ 23 & -60 & 33\\\\ 0 & -54 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac1{23} & -\tfrac4{23}\\[3pt] \tfrac1{9} & -\tfrac{20}{69} & \tfrac{11}{69}\\[3pt] 0 & -\tfrac6{23} & \tfrac1{23} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac12 & 0\\[3pt]-\tfrac{3}{7} & \tfrac{1}{7}\end{pmatrix} B^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\[3pt]\tfrac14 & 0\end{pmatrix} C^{-1} não existe (D^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix}
-\tfrac1{26} & \tfrac5{26} & -\tfrac1{26}\[3pt]
\tfrac2{13} & \tfrac3{13} & \tfrac2{13}\[3pt]
-\tfrac4{39} & -\tfrac2{13} & \tfrac5{78}
\end{pmatrix} E^{-1}=\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & \tfrac1{23} & -\tfrac4{23}\\[3pt] \tfrac1{9} & -\tfrac{20}{69} & \tfrac{11}{69}\\[3pt] 0 & -\tfrac6{23} & \tfrac1{23} \end{pmatrix})]

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