Seja a_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}. Para quais valores de p a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}{ }^{p / 6} converge?

Escolha uma opção:

◯ a. p>24
◯ b. p<-12
◯ c. p \geqslant 28
◯ d. p \leqslant-12
◯ e. p>12
◯ f. p>28
◯ g. p \geqslant 12
◯ h. \quad p \leqslant-24
◯ i. p<-24

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2} e pergunta para quais valores de p a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{\,p/6}
converge. Informações relevantes que temos:
  • A fórmula explícita de a_{n}.
  • Queremos a condição em p para que a série com termos a_{n}^{\,p/6} seja convergente.

Passo 2

Vamos manipular a_{n} para uma forma mais útil. Racionalizando a diferença de raízes:
a_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}=\frac{(n+3)-(n+2)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}=\frac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}.
Isso já é bem mais manejável do que a forma original.

Passo 3

Agora vamos achar o comportamento quando n\to\infty. Multiplico por \sqrt{n} e faço o limite:
\sqrt{n}\,a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}=\frac{1}{\sqrt{1+3/n}+\sqrt{1+2/n}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Isso significa que, para grandes n,
a_{n}\sim\frac{1}{2\sqrt{n}},
onde o símbolo \sim significa que o quociente \dfrac{a_n}{1/(2\sqrt{n})} tende a 1. Portanto, elevando à potência p/6,
a_{n}^{\,p/6}\sim\left(\frac{1}{2\sqrt{n}}\right)^{p/6}=2^{-p/6}\,n^{-p/12}.

Passo 4

Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test). Ele diz: se b_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=L com 0<L<\infty, então \sum a_{n} converge se, e somente se, \sum b_{n} converge. Aqui já identificamos um candidato natural:
b_{n}=n^{-p/12},
pois a_{n}^{\,p/6} é assintoticamente um múltiplo positivo de b_{n}.

Passo 5

Calculo explicitamente o limite do quociente (usando o resultado do Passo 3):
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}^{\,p/6}}{n^{-p/12}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}^{\,p/6}}{(1/\sqrt{n})^{p/6}}= \left(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{1/(2\sqrt{n})}\right)^{p/6}= (1)^{p/6}=1,
ou, de forma equivalente, usando o fator que encontramos, o limite vale 2^{-p/6}, que é um número positivo e finito. Assim, pela comparação por limite, a série \sum a_{n}^{\,p/6} converge se, e somente se, a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-p/12}
converge.

Passo 6

Agora aplico o critério clássico da série p-\emph{series}: a série \sum n^{-\alpha} converge exatamente quando \alpha>1 (isso pode ser mostrado pelo teste da integral). No nosso caso \alpha=\dfrac{p}{12}. Portanto a condição necessária e suficiente é
\frac{p}{12}>1\quad\Longleftrightarrow\quad p>12.
Se p=12 temos \sum n^{-1} (harmônica) que diverge; se p<12 então \alpha\le 1 e a série também diverge. Note também que para p negativo os termos a_{n}^{\,p/6} sequer vão para zero (pois a_n\to0 e potência negativa faz explodir), então divergem também.

Resposta

p>12

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