Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test). Ele diz: se b_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=L com 0<L<\infty, então \sum a_{n} converge se, e somente se, \sum b_{n} converge. Aqui já identificamos um candidato natural:
b_{n}=n^{-p/12},
pois a_{n}^{\,p/6} é assintoticamente um múltiplo positivo de b_{n}.
Passo 5
Calculo explicitamente o limite do quociente (usando o resultado do Passo 3):
ou, de forma equivalente, usando o fator que encontramos, o limite vale 2^{-p/6}, que é um número positivo e finito. Assim, pela comparação por limite, a série \sum a_{n}^{\,p/6} converge se, e somente se, a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-p/12}
converge.
Passo 6
Agora aplico o critério clássico da série p-\emph{series}: a série \sum n^{-\alpha} converge exatamente quando \alpha>1 (isso pode ser mostrado pelo teste da integral). No nosso caso \alpha=\dfrac{p}{12}. Portanto a condição necessária e suficiente é
\frac{p}{12}>1\quad\Longleftrightarrow\quad p>12.
Se p=12 temos \sum n^{-1} (harmônica) que diverge; se p<12 então \alpha\le 1 e a série também diverge. Note também que para p negativo os termos a_{n}^{\,p/6} sequer vão para zero (pois a_n\to0 e potência negativa faz explodir), então divergem também.