Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
Escolher…
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente, e explicitar qual teste confirma esse fato. Informações dadas e reformulação útil (peguei os expoentes do enunciado):
- O termo geral é
. - Note que
. Portanto os termos são
Passo 2
Vamos entender o comportamento de
quando
. Para isso uso um fato padrão sobre a função seno para argumentos pequenos:
- Para
vale .
Explicando esse fato de forma simples: parapequeno existe a desigualdade
e como
quando
, pelo Teorema do Sanduíche obtém-se
. Isso significa que, para
pequeno,
é aproximadamente
.
Passo 3
Aplicando o fato do passo anterior ao nosso termo: coloque
. Como
quando
, tem-se
Logo
é assintoticamente equivalente a
; em notação,
.
Passo 4
Escolho o teste da comparação por limite (teste da comparação-limite): se
existe e é um número finito e positivo, então
e
têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem). Aqui já calculei que
, portanto a série original tem o mesmo comportamento da série
.
Passo 5
Recordando o teste da série p: a série
converge se, e somente se,
. No nosso caso
, então a série
diverge. Pelo resultado do passo anterior (comparação-limite com
), a série original também diverge.
Passo 6
Comentário prático e motivador: a ideia-chave para a prova na hora da prova é reconhecer o pequeno-ângulo
quando
tende a zero, reescrever o expoente corretamente (
) e aplicar a comparação-limite com a série p. Dá para escrever isso em 3 linhas na prova e tá tudo certo — você já entendeu o porquê!
Resposta
Divergente (por comparação-limite com
, que diverge pois
).