Para cada das seguintes séries, decida se ela é convergente ou divergente, e explicite qual teste pode ser usado para confirmar este fato.
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt[50]{n^{45}}}\right) Escolher…

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{\sqrt[50]{n^{45}}}\right)
é convergente ou divergente, e explicitar qual teste confirma esse fato. Informações dadas e reformulação útil (peguei os expoentes do enunciado):
  • O termo geral é a_n=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt[50]{n^{45}}}\right).
  • Note que \sqrt[50]{n^{45}}=n^{45/50}=n^{9/10}. Portanto os termos são
a_n=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n^{9/10}}\right).

Passo 2

Vamos entender o comportamento de a_n quando n\to\infty. Para isso uso um fato padrão sobre a função seno para argumentos pequenos:
  • Para x\to 0 vale \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\to 1.
    Explicando esse fato de forma simples: para x>0 pequeno existe a desigualdade
\cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1,
e como \cos x\to 1 quando x\to 0, pelo Teorema do Sanduíche obtém-se \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\to 1. Isso significa que, para x pequeno, \operatorname{sen} x é aproximadamente x.

Passo 3

Aplicando o fato do passo anterior ao nosso termo: coloque x=\dfrac{1}{n^{9/10}}. Como x\to 0 quando n\to\infty, tem-se
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n^{9/10}}\right)}{\dfrac{1}{n^{9/10}}}=1.
Logo a_n é assintoticamente equivalente a b_n=\dfrac{1}{n^{9/10}}; em notação, a_n\sim b_n.

Passo 4

Escolho o teste da comparação por limite (teste da comparação-limite): se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e é um número finito e positivo, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem). Aqui já calculei que L=1\in(0,\infty), portanto a série original tem o mesmo comportamento da série \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{9/10}}.

Passo 5

Recordando o teste da série p: a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=\dfrac{9}{10}<1, então a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{9/10}} diverge. Pelo resultado do passo anterior (comparação-limite com L=1), a série original também diverge.

Passo 6

Comentário prático e motivador: a ideia-chave para a prova na hora da prova é reconhecer o pequeno-ângulo \operatorname{sen} x\approx x quando x tende a zero, reescrever o expoente corretamente ( 45/50=9/10) e aplicar a comparação-limite com a série p. Dá para escrever isso em 3 linhas na prova e tá tudo certo — você já entendeu o porquê!

Resposta

Divergente (por comparação-limite com \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{9/10}}, que diverge pois p=\tfrac{9}{10}<1).

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