Seja A um subanel e
. Prove que,
é um subanel de A .
Passo 1
O enunciado dá:
é um subanel e
. Define-se
A pergunta é: provar que
é um subanel de
.
Informações relevantes que já temos do enunciado: é um subanel, logo contém o elemento neutro aditivo
, é fechado sob soma, inverso aditivo e produto, e as operações satisfazem as leis usuais (associatividade da soma e do produto, distributividade, etc.). O conjunto
é o conjunto dos elementos de
que comutam com
.
Não vamos resolver ainda; apenas ficou claro o que pedir: mostrar que é um subanel, ou seja, que
é um subconjunto de
que, com as operações herdadas, satisfaz as propriedades de subanel (normalmente: não vazio e fechado sob subtração e multiplicação).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
Não vamos resolver ainda; apenas ficou claro o que pedir: mostrar que
Passo 2
Primeiro passo prático: mostrar que
é não vazio.
Como é um subanel,
. Agora verifiquemos se
. Usando as propriedades usuais de anel temos
Como
Portanto
comuta com
, isto é,
. Conclusão:
é não vazio.
Passo 3
Agora vou mostrar que
é fechado sob soma. Pegue
. Queremos provar que
, ou seja,
. Usamos a distributividade da multiplicação em relação à soma e o fato de que
e
comutam com
:
Como
temos
; como
temos
. Substituindo,
Usando distributividade agora no lado direito (ou apenas reagrupando),
Juntando tudo:
Portanto
. Observação: também usamos que
porque
é fechado sob soma.
Passo 4
Mostramos que
contém inversos aditivos (fechado sob inverso). Pegue
. Queremos ver que
, isto é,
. Usamos propriedades do inverso aditivo e da multiplicação:
Como
temos
, então
E como a multiplicação por
respeita o inverso aditivo também no outro lado,
Logo
, e como
(porque
é subanel), concluímos
.
Passo 5
Mostramos que
é fechado sob multiplicação. Pegue
. Queremos provar
, i.e.
. Usamos associatividade da multiplicação e o fato que
e
comutam com
:
Como
temos
, então
Pela associatividade podemos reescrever
. Como
temos
, portanto
Juntando os passos:
Portanto
. Note que também usamos que
porque
é fechado sob produto.
Passo 6
Agora consolidamos: vimos que
é não vazio (Passo 2), fechado sob soma (Passo 3), contém inversos aditivos (Passo 4) e é fechado sob multiplicação (Passo 5). Uma forma padrão de testar subanel é verificar que o subconjunto é não vazio e fechado sob subtração e multiplicação; já temos fechamento sob soma e inverso, então há fechamento sob subtração. Assim
é subanel de
. Intuitivamente,
é exatamente o conjunto dos elementos de
que comutam com
(o centralizador de
), e mostramos que esse conjunto herda as operações de
.