Seja A um subanel e a \in \mathrm{~A}. Prove que, B=\{x \in A: x . a=a . x\} é um subanel de A .

Passo 1

O enunciado dá: A é um subanel e a\in A. Define-se
B=\{x\in A : x\cdot a = a\cdot x\}.
A pergunta é: provar que B é um subanel de A.
Informações relevantes que já temos do enunciado: A é um subanel, logo contém o elemento neutro aditivo 0, é fechado sob soma, inverso aditivo e produto, e as operações satisfazem as leis usuais (associatividade da soma e do produto, distributividade, etc.). O conjunto B é o conjunto dos elementos de A que comutam com a.
Não vamos resolver ainda; apenas ficou claro o que pedir: mostrar que B é um subanel, ou seja, que B é um subconjunto de A que, com as operações herdadas, satisfaz as propriedades de subanel (normalmente: não vazio e fechado sob subtração e multiplicação).

Passo 2

Primeiro passo prático: mostrar que B é não vazio.
Como A é um subanel, 0\in A. Agora verifiquemos se 0\in B. Usando as propriedades usuais de anel temos
0\cdot a = 0 = a\cdot 0.
Portanto 0 comuta com a, isto é, 0\in B. Conclusão: B é não vazio.

Passo 3

Agora vou mostrar que B é fechado sob soma. Pegue x,y\in B. Queremos provar que x+y\in B, ou seja, (x+y)\cdot a = a\cdot (x+y). Usamos a distributividade da multiplicação em relação à soma e o fato de que x e y comutam com a:
(x+y)\cdot a = x\cdot a + y\cdot a.
Como x\in B temos x\cdot a = a\cdot x; como y\in B temos y\cdot a = a\cdot y. Substituindo,
x\cdot a + y\cdot a = a\cdot x + a\cdot y.
Usando distributividade agora no lado direito (ou apenas reagrupando),
a\cdot x + a\cdot y = a\cdot (x+y).
Juntando tudo:
(x+y)\cdot a = a\cdot (x+y).
Portanto x+y\in B. Observação: também usamos que x+y\in A porque A é fechado sob soma.

Passo 4

Mostramos que B contém inversos aditivos (fechado sob inverso). Pegue x\in B. Queremos ver que -x\in B, isto é, (-x)\cdot a = a\cdot (-x). Usamos propriedades do inverso aditivo e da multiplicação:
(-x)\cdot a = -(x\cdot a).
Como x\in B temos x\cdot a = a\cdot x, então
-(x\cdot a) = -(a\cdot x).
E como a multiplicação por a respeita o inverso aditivo também no outro lado,
-(a\cdot x) = a\cdot (-x).
Logo (-x)\cdot a = a\cdot (-x), e como -x\in A (porque A é subanel), concluímos -x\in B.

Passo 5

Mostramos que B é fechado sob multiplicação. Pegue x,y\in B. Queremos provar xy\in B, i.e. (xy)\cdot a = a\cdot (xy). Usamos associatividade da multiplicação e o fato que y e x comutam com a:
(xy)\cdot a = x\cdot (y\cdot a).
Como y\in B temos y\cdot a = a\cdot y, então
x\cdot (y\cdot a) = x\cdot (a\cdot y).
Pela associatividade podemos reescrever x\cdot (a\cdot y) = (x\cdot a)\cdot y. Como x\in B temos x\cdot a = a\cdot x, portanto
(x\cdot a)\cdot y = (a\cdot x)\cdot y = a\cdot (x\cdot y).
Juntando os passos:
(xy)\cdot a = a\cdot (xy).
Portanto xy\in B. Note que também usamos que xy\in A porque A é fechado sob produto.

Passo 6

Agora consolidamos: vimos que B é não vazio (Passo 2), fechado sob soma (Passo 3), contém inversos aditivos (Passo 4) e é fechado sob multiplicação (Passo 5). Uma forma padrão de testar subanel é verificar que o subconjunto é não vazio e fechado sob subtração e multiplicação; já temos fechamento sob soma e inverso, então há fechamento sob subtração. Assim B é subanel de A. Intuitivamente, B é exatamente o conjunto dos elementos de A que comutam com a (o centralizador de a), e mostramos que esse conjunto herda as operações de A.

Resposta

B é um subanel de A.

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