Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, ou seja, que
é um número real que não é racional. Dados relevantes: os números
e
são números reais positivos.
Passo 2
Vamos provar a afirmação por contradição: assumimos o oposto do que queremos mostrar e chegamos a uma contradição. Para isso precisamos usar um fato básico que vou provar primeiro:
é irracional. Vou fazer essa prova detalhadamente, porque ela será usada na contradição.
Passo 3
Prova de que
é irracional (argumento clássico por paridade):
Assuma, por contradição, que é racional. Então existem inteiros
e
sem fator comum (ou seja,
) tais que
Assuma, por contradição, que
Elevando ao quadrado obtemos
Da última igualdade segue que
é par, portanto
é par. Logo existe um inteiro
tal que
. Substituindo:
Assim
é par, logo
é par. Concluímos que tanto
quanto
são pares, o que contradiz a hipótese de que
. Portanto a suposição de que
é racional é falsa. Logo
Passo 4
Agora faço a prova principal por contradição. Suponha que
para algum
. Note que
, logo
.
Passo 5
A partir de
considere
. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o quadrado obtemos
Como
, segue
Isolando
vem
Passo 6
Agora observe que
implica
e, portanto,
(soma, produto e quociente de números racionais são racionais, lembrando que
). Assim a expressão à direita é um número racional, o que implicaria que
é racional. Mas isso contradiz o resultado do Passo 3, onde provamos que
. Portanto a hipótese inicial (
) é falsa.
Passo 7
Concluímos que
não é racional. Em outras palavras,
Seibamos que esse tipo de argumento — assumir racionalidade e manipular algebricamente até obter que um número conhecido como irracional seria racional — é uma técnica muito útil em provas de irracionalidade. Força aí — você já passou pelo passo mais chato: matemática com contradição, agora tá dominando!