Mostre que \sqrt{2}+\sqrt{3} \epsilon \mathbb{R}-\mathbb{Q}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \sqrt{2}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}, ou seja, que \sqrt{2}+\sqrt{3} é um número real que não é racional. Dados relevantes: os números \sqrt{2} e \sqrt{3} são números reais positivos.

Passo 2

Vamos provar a afirmação por contradição: assumimos o oposto do que queremos mostrar e chegamos a uma contradição. Para isso precisamos usar um fato básico que vou provar primeiro: \sqrt{2} é irracional. Vou fazer essa prova detalhadamente, porque ela será usada na contradição.

Passo 3

Prova de que \sqrt{2} é irracional (argumento clássico por paridade):
Assuma, por contradição, que \sqrt{2} é racional. Então existem inteiros \,p e \,q sem fator comum (ou seja, \gcd(p,q)=1) tais que
\sqrt{2}=\frac{p}{q}.
Elevando ao quadrado obtemos
2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\quad\Longrightarrow\quad p^{2}=2q^{2}.
Da última igualdade segue que p^{2} é par, portanto p é par. Logo existe um inteiro \,k tal que p=2k. Substituindo:
(2k)^{2}=2q^{2}\quad\Longrightarrow\quad 4k^{2}=2q^{2}\quad\Longrightarrow\quad 2k^{2}=q^{2}.
Assim q^{2} é par, logo q é par. Concluímos que tanto p quanto q são pares, o que contradiz a hipótese de que \gcd(p,q)=1. Portanto a suposição de que \sqrt{2} é racional é falsa. Logo
\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}.

Passo 4

Agora faço a prova principal por contradição. Suponha que
\sqrt{2}+\sqrt{3}=r
para algum r\in\mathbb{Q}. Note que \sqrt{2}+\sqrt{3}>0, logo r\neq 0.

Passo 5

A partir de \sqrt{2}+\sqrt{3}=r considere r-\sqrt{2}=\sqrt{3}. Elevando ambos os lados ao quadrado:
(r-\sqrt{2})^{2}=3.
Expandindo o quadrado obtemos
r^{2}-2r\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=3.
Como (\sqrt{2})^{2}=2, segue
r^{2}-2r\sqrt{2}+2=3\quad\Longrightarrow\quad r^{2}-2r\sqrt{2}=1.
Isolando \sqrt{2} vem
\sqrt{2}=\frac{r^{2}-1}{2r}.

Passo 6

Agora observe que r\in\mathbb{Q} implica r^{2}\in\mathbb{Q} e, portanto, \dfrac{r^{2}-1}{2r}\in\mathbb{Q} (soma, produto e quociente de números racionais são racionais, lembrando que r\neq 0). Assim a expressão à direita é um número racional, o que implicaria que \sqrt{2} é racional. Mas isso contradiz o resultado do Passo 3, onde provamos que \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. Portanto a hipótese inicial ( \sqrt{2}+\sqrt{3}\in\mathbb{Q}) é falsa.

Passo 7

Concluímos que \sqrt{2}+\sqrt{3} não é racional. Em outras palavras,
\sqrt{2}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}.
Seibamos que esse tipo de argumento — assumir racionalidade e manipular algebricamente até obter que um número conhecido como irracional seria racional — é uma técnica muito útil em provas de irracionalidade. Força aí — você já passou pelo passo mais chato: matemática com contradição, agora tá dominando!

Resposta

\sqrt{2}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}

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