As imagens inversas se comportam bem relativamente às operações com conjuntos. Na relação abaixo, Y e Z indicam subconjuntos de B . Dada uma função
, prove que:
Passo 1
O enunciado dá uma função
e pede para provar que a pré-imagem do conjunto
é igual a
, ou seja mostrar que
Informações relevantes dadas:
-
e são conjuntos. -
é uma função com domínio e contradomínio (ou imagem alvo) . - A tarefa é provar a igualdade entre os conjuntos
e .
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar e entender a definição de pré-imagem (imagem inversa). A pré-imagem de um subconjunto qualquer
é definida por
Explicando com calma: isso significa que para um elemento
pertencer a
é preciso que (1)
seja um elemento do domínio
e (2) ao aplicar
em
o resultado
esteja em
. Aqui a variável
sempre varia dentro de
na definição de pré-imagem.
Passo 3
Vamos mostrar a inclusão
. Tome um elemento arbitrário
. Pela definição de pré-imagem temos que
e
. A partir disso já vemos imediatamente que
. Como o
foi arbitrário, concluímos que todo elemento de
pertence a
. Portanto
Passo 4
Agora mostramos a inclusão oposta
. Tome um elemento arbitrário
. Como
é uma função de
em
, por definição de função (domínio e contradomínio) o valor
é um elemento de
. Ou seja
. Pela definição de pré-imagem isso implica que
. Como
foi escolhido arbitrariamente em
, segue que todo elemento de
pertence a
. Logo
Passo 5
Tendo mostrado as duas inclusões
e
, concluímos que os conjuntos são iguais. Intuitivamente: a pré-imagem do conjunto inteiro
contém exatamente todos os elementos do domínio, porque toda vez que você pega um
e aplica
o resultado cai em
por definição.