As imagens inversas se comportam bem relativamente às operações com conjuntos. Na relação abaixo, Y e Z indicam subconjuntos de B . Dada uma função f: A \rightarrow B, prove que:
f^{-1}(B)=A

Passo 1

O enunciado dá uma função f: A \rightarrow B e pede para provar que a pré-imagem do conjunto B é igual a A, ou seja mostrar que
f^{-1}(B)=A.
Informações relevantes dadas:
  • A e B são conjuntos.
  • f é uma função com domínio A e contradomínio (ou imagem alvo) B.
  • A tarefa é provar a igualdade entre os conjuntos f^{-1}(B) e A.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar e entender a definição de pré-imagem (imagem inversa). A pré-imagem de um subconjunto qualquer Y\subseteq B é definida por
f^{-1}(Y)=\{x\in A \mid f(x)\in Y\}.
Explicando com calma: isso significa que para um elemento x pertencer a f^{-1}(Y) é preciso que (1) x seja um elemento do domínio A e (2) ao aplicar f em x o resultado f(x) esteja em Y. Aqui a variável x sempre varia dentro de A na definição de pré-imagem.

Passo 3

Vamos mostrar a inclusão f^{-1}(B)\subseteq A. Tome um elemento arbitrário x\in f^{-1}(B). Pela definição de pré-imagem temos que x\in A e f(x)\in B. A partir disso já vemos imediatamente que x\in A. Como o x foi arbitrário, concluímos que todo elemento de f^{-1}(B) pertence a A. Portanto
f^{-1}(B)\subseteq A.

Passo 4

Agora mostramos a inclusão oposta A\subseteq f^{-1}(B). Tome um elemento arbitrário x\in A. Como f é uma função de A em B, por definição de função (domínio e contradomínio) o valor f(x) é um elemento de B. Ou seja f(x)\in B. Pela definição de pré-imagem isso implica que x\in f^{-1}(B). Como x foi escolhido arbitrariamente em A, segue que todo elemento de A pertence a f^{-1}(B). Logo
A\subseteq f^{-1}(B).

Passo 5

Tendo mostrado as duas inclusões f^{-1}(B)\subseteq A e A\subseteq f^{-1}(B), concluímos que os conjuntos são iguais. Intuitivamente: a pré-imagem do conjunto inteiro B contém exatamente todos os elementos do domínio, porque toda vez que você pega um x\in A e aplica f o resultado cai em B por definição.

Resposta

f^{-1}(B)=A

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