Seja
subconjunto de
. Resolva os seguintes itens:
(d) Com relação a
e
são esse conjuntos bem ordenados?
(d) Com relação a
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos um conjunto qualquer
(essa informação não interferirá diretamente aqui). A pergunta do item (d) é: com relação às ordens usuais, os conjuntos
e
são bem ordenados? Listei as informações relevantes:
- Queremos analisar a propriedade de “bem ordenado” aplicada a
e a com a ordem usual. - Não há outras condições extra (como ordem invertida ou outra topologia); assumimos a ordem usual crescente.
Passo 2
Definição de “bem ordenado” (a aula rapidinha): um conjunto
totalmente ordenado é chamado de bem ordenado se toda parte não vazia de
tem um menor elemento. Ou seja, em linguagem matemática:
Explicando devagar: isso significa que, pegando qualquer subconjunto não-vazio
, existe um membro
de
que é menor ou igual a todos os outros membros de
. Esse
é chamado de elemento mínimo (ou “menor elemento”) de
. A propriedade é forte: exige isso para todo subconjunto não-vazio.
Passo 3
Prova de que
é bem ordenado (passo a passo com explicação): vou assumir a convenção usual que
; se alguém preferir
a prova é análoga.
- Tome um subconjunto não-vazio arbitrário
. Queremos mostrar que tem um menor elemento. - Como
é não-vazio, existe algum . Considere o conjunto finito . Esse conjunto tem interseção não-vazia com (porque contém ). - Agora uso um argumento por indução finita para conjuntos iniciais: afirmo que para todo
, qualquer interseção (quando não vazia) tem um menor elemento. - Base
: se então está na interseção e é claramente o menor elemento. - Passo indutivo: suponha a afirmação verdadeira para
. Para , se então, por hipótese indutiva, essa interseção tem um menor elemento, que também é menor em . Se, em contrário, mas , então necessariamente e é o menor elemento da interseção. - Assim a afirmação vale para todo
.
- Base
- Aplicando isso ao nosso
inicial, a interseção é não-vazia e, pela propriedade acima, tem um menor elemento; esse menor elemento é também o menor de (porque qualquer elemento de é a esse menor dentro do bloco ou, se for maior que , claramente é a esse mínimo). - Conclusão: qualquer
, , tem menor elemento. Logo é bem ordenado.
Comentário intuitivo: a razão é simples —
não permite “cair indefinidamente para valores menores”: qualquer elemento fornece uma “barreira” abaixo da qual só há um número finito de inteiros, então você sempre encontra o mínimo.
Passo 4
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
, o menor é . - Se
, o menor é .
Esses exemplos mostram o tipo de coisa que a definição exige — sempre um menor elemento.
Passo 5
Prova de que
não é bem ordenado (contraexemplo direto):
- Para que
fosse bem ordenado, toda parte não-vazia de teria de ter um menor elemento. - Considere a parte
, ou seja, o conjunto dos inteiros negativos . Esse é não-vazio. - Suponha, por absurdo, que exista um menor elemento
. Então é negativo. Mas também é um inteiro negativo (pois se então ), e . Além disso , o que contradiz a hipótese de que era o menor. - Portanto não existe menor elemento de
. Assim é uma parte não-vazia de sem menor elemento, o que mostra que não é bem ordenado.
Comentário intuitivo: em
dá pra “ir sempre mais para a esquerda” (mais negativo), então é fácil construir subconjuntos sem mínimo.
Passo 6
Observações finais e incentivo:
- Resumo:
é bem ordenado; não é bem ordenado (na ordem usual). - Se sentir que a prova de que
é bem ordenado ficou meio abstrata, pensa assim: qualquer subconjunto de naturais tem um elemento com menor valor porque não dá pra descer indefinidamente — abaixo de qualquer número há apenas finitamente muitos naturais. Isso é a ideia por trás da prova por indução que fizemos. - Vai dar certo na prova: se te pedirem justificar, basta apresentar o contraexemplo para
e o argumento por indução/intervalo finito para . Força aí!