Seja A subconjunto de \mathbb{Q}. Resolva os seguintes itens:
(d) Com relação a \mathbb{N} e \mathbb{Z} são esse conjuntos bem ordenados?

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos um conjunto qualquer A\subset\mathbb{Q} (essa informação não interferirá diretamente aqui). A pergunta do item (d) é: com relação às ordens usuais, os conjuntos \mathbb{N} e \mathbb{Z} são bem ordenados? Listei as informações relevantes:
  • Queremos analisar a propriedade de “bem ordenado” aplicada a \mathbb{N} e a \mathbb{Z} com a ordem usual.
  • Não há outras condições extra (como ordem invertida ou outra topologia); assumimos a ordem usual crescente.

Passo 2

Definição de “bem ordenado” (a aula rapidinha): um conjunto S totalmente ordenado é chamado de bem ordenado se toda parte não vazia de S tem um menor elemento. Ou seja, em linguagem matemática:
\text{Um conjunto }S\text{ é bem ordenado se, para toda parte não vazia }T\subset S,\\ \exists\,m\in T\\ \text{tal que }\forall x\in T,\\ m\le x.éã
Explicando devagar: isso significa que, pegando qualquer subconjunto não-vazio T, existe um membro m de T que é menor ou igual a todos os outros membros de T. Esse m é chamado de elemento mínimo (ou “menor elemento”) de T. A propriedade é forte: exige isso para todo subconjunto não-vazio.

Passo 3

Prova de que \mathbb{N} é bem ordenado (passo a passo com explicação): vou assumir a convenção usual que \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}; se alguém preferir \{1,2,\dots\} a prova é análoga.
  • Tome um subconjunto não-vazio arbitrário T\subset\mathbb{N}. Queremos mostrar que T tem um menor elemento.
  • Como T é não-vazio, existe algum n\in T. Considere o conjunto finito \{0,1,\dots,n\}. Esse conjunto tem interseção não-vazia com T (porque contém n).
  • Agora uso um argumento por indução finita para conjuntos iniciais: afirmo que para todo m\in\mathbb{N}, qualquer interseção T\cap\{0,1,\dots,m\} (quando não vazia) tem um menor elemento.
    • Base m=0: se T\cap\{0\}\neq\varnothing então 0 está na interseção e é claramente o menor elemento.
    • Passo indutivo: suponha a afirmação verdadeira para m. Para m+1, se T\cap\{0,\dots,m\}\neq\varnothing então, por hipótese indutiva, essa interseção tem um menor elemento, que também é menor em T\cap\{0,\dots,m+1\}. Se, em contrário, T\cap\{0,\dots,m\}=\varnothing mas T\cap\{0,\dots,m+1\}\neq\varnothing, então necessariamente m+1\in T e m+1 é o menor elemento da interseção.
    • Assim a afirmação vale para todo m.
  • Aplicando isso ao nosso n inicial, a interseção T\cap\{0,\dots,n\} é não-vazia e, pela propriedade acima, tem um menor elemento; esse menor elemento é também o menor de T (porque qualquer elemento de T é \ge a esse menor dentro do bloco \{0,\dots,n\} ou, se for maior que n, claramente é \ge a esse mínimo).
  • Conclusão: qualquer T\subset\mathbb{N}, T\neq\varnothing, tem menor elemento. Logo \mathbb{N} é bem ordenado.
Comentário intuitivo: a razão é simples — \mathbb{N} não permite “cair indefinidamente para valores menores”: qualquer elemento fornece uma “barreira” abaixo da qual só há um número finito de inteiros, então você sempre encontra o mínimo.

Passo 4

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se T=\{5,9,12\}\subset\mathbb{N}, o menor é 5.
  • Se T=\{n\in\mathbb{N}\mid n\ge 7\}, o menor é 7.
    Esses exemplos mostram o tipo de coisa que a definição exige — sempre um menor elemento.

Passo 5

Prova de que \mathbb{Z} não é bem ordenado (contraexemplo direto):
  • Para que \mathbb{Z} fosse bem ordenado, toda parte não-vazia de \mathbb{Z} teria de ter um menor elemento.
  • Considere a parte T=\{n\in\mathbb{Z}\mid n<0\}, ou seja, o conjunto dos inteiros negativos \{\dots,-3,-2,-1\}. Esse T é não-vazio.
  • Suponha, por absurdo, que exista um menor elemento m\in T. Então m é negativo. Mas m-1 também é um inteiro negativo (pois se m\le -1 então m-1\le -2), e m-1\in T. Além disso m-1<m, o que contradiz a hipótese de que m era o menor.
  • Portanto não existe menor elemento de T. Assim T é uma parte não-vazia de \mathbb{Z} sem menor elemento, o que mostra que \mathbb{Z} não é bem ordenado.
Comentário intuitivo: em \mathbb{Z} dá pra “ir sempre mais para a esquerda” (mais negativo), então é fácil construir subconjuntos sem mínimo.

Passo 6

Observações finais e incentivo:
  • Resumo: \mathbb{N} é bem ordenado; \mathbb{Z} não é bem ordenado (na ordem usual).
  • Se sentir que a prova de que \mathbb{N} é bem ordenado ficou meio abstrata, pensa assim: qualquer subconjunto de naturais tem um elemento com menor valor porque não dá pra descer indefinidamente — abaixo de qualquer número há apenas finitamente muitos naturais. Isso é a ideia por trás da prova por indução que fizemos.
  • Vai dar certo na prova: se te pedirem justificar, basta apresentar o contraexemplo para \mathbb{Z} e o argumento por indução/intervalo finito para \mathbb{N}. Força aí!

Resposta

\mathbb{N} é bem ordenado.
\mathbb{Z} não é bem ordenado.

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