Seja A subconjunto de \mathbb{Q}. Resolva os seguintes itens:
(b) Defina quando A possui elemento mínimo.

Passo 1

Enunciado dado: seja A subconjunto de \mathbb{Q}. A questão (b) pede explicitamente: “Defina quando A possui elemento mínimo”.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A é um conjunto cujos elementos são números racionais, isto é, A\subseteq\mathbb{Q}.
  • Temos à disposição a ordem usual em \mathbb{Q} (o símbolo \le entre racionais).
  • O que se pede é uma definição precisa (ou seja, uma condição que seja verdadeira exatamente quando A tem um elemento mínimo).

Passo 2

O que significa falar de “mínimo” num conjunto ordenado: vamos lembrar o conceito intuitivo antes da definição formal. Se eu disser que um número m é o menor elemento de A, quero dizer duas coisas simples:
  1. m pertence a A. (Se fosse só menor do que todos, mas não estivesse no conjunto, não seria “mínimo” do conjunto.)
  2. m é menor ou igual a qualquer outro elemento de A.
Essas duas ideias juntas capturam totalmente o sentido de mínimo. Agora vamos traduzir isso para uma escrita matemática precisa usando quantificadores.

Passo 3

Escrevendo a definição com quantificadores (linguagem precisa): a condição "existe um elemento m de A que é menor ou igual a todo elemento de A" vira isto em forma simbólica:
\exists m\in A\\ \text{tal que}\\ \forall a\in A,\\ m\le a.
Expliquei cada símbolo:
  • \exists m\in A significa "existe um elemento m que pertence a A".
  • \forall a\in A significa "para todo elemento a que pertence a A".
  • m\le a significa "o número m é menor ou igual ao número a" (ordem usual em \mathbb{Q}).

Passo 4

Por que incluímos ambas as condições (pertencer a A e ser menor ou igual a todos)? Porque existe outra noção chamada “ínfimo” (menor limite) que exige apenas ser menor ou igual a todos os elementos sem necessariamente pertencer ao conjunto. Exemplo para clarear:
  • Se A=\{1,2,3\}, então 1\in A e 1\le a para todo a\in A, logo 1 é o mínimo.
  • Se A=\{q\in\mathbb{Q}\mid 0<q<1\} (peguei o conjunto de racionais entre 0 e 1), então não existe m\in A tal que m\le a para todo a\in A: qualquer candidato m\in A é positivo, mas podemos sempre achar outro racional em A menor que m (por exemplo, m/2), então não há mínimo. Nota: 0 é um minorante (um limite inferior) mas 0\notin A, então não é mínimo.

Passo 5

Propriedade útil: se um mínimo existe, ele é único. Vamos provar de modo simples (passo a passo, como se eu estivesse na prova):
  1. Suponha que m_1\in A e m_2\in A sejam ambos mínimos de A.
  2. Por ser mínimo, temos m_1\le m_2 (porque m_1 é \le a todo elemento, em particular a m_2).
  3. Simetricamente, como m_2 é mínimo, m_2\le m_1.
  4. Pela propriedade da ordem em \mathbb{Q}, de m_1\le m_2 e m_2\le m_1 segue m_1=m_2.
    Logo há no máximo um mínimo; se existir, é único.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (como mostrar que um conjunto tem ou não tem mínimo):
  • Para provar que m é o mínimo de A: mostre (a) m\in A e (b) para um elemento arbitrário a\in A (ou seja, “seja a\in A qualquer”), prove que m\le a. Essa prova do tipo “peguei um a qualquer” é o modo padrão com quantificadores universais.
  • Para provar que A não tem mínimo: pegue um elemento qualquer m\in A e produza outro a\in A tal que a<m. Se você consegue fazer isso para todo m\in A, então nenhum m\in A satisfaz a condição de ser \le a todos; logo não existe mínimo.
  • Lembre-se: mostrar que existe um “menor limite” (ínfimo) não basta — é preciso verificar pertença ao conjunto para garantir mínimo.

Resposta

A possui elemento mínimo se, e somente se, existir m\in A tal que \forall a\in A,\\ m\le a.

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