Seja
subconjunto de
. Resolva os seguintes itens:
(b) Defina quando
possui elemento mínimo.
(b) Defina quando
Passo 1
Enunciado dado: seja
subconjunto de
. A questão (b) pede explicitamente: “Defina quando
possui elemento mínimo”.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
-
é um conjunto cujos elementos são números racionais, isto é, . - Temos à disposição a ordem usual em
(o símbolo entre racionais). - O que se pede é uma definição precisa (ou seja, uma condição que seja verdadeira exatamente quando
tem um elemento mínimo).
Passo 2
O que significa falar de “mínimo” num conjunto ordenado: vamos lembrar o conceito intuitivo antes da definição formal. Se eu disser que um número
é o menor elemento de
, quero dizer duas coisas simples:
-
pertence a . (Se fosse só menor do que todos, mas não estivesse no conjunto, não seria “mínimo” do conjunto.) -
é menor ou igual a qualquer outro elemento de .
Essas duas ideias juntas capturam totalmente o sentido de mínimo. Agora vamos traduzir isso para uma escrita matemática precisa usando quantificadores.
Passo 3
Escrevendo a definição com quantificadores (linguagem precisa): a condição "existe um elemento
de
que é menor ou igual a todo elemento de
" vira isto em forma simbólica:
Expliquei cada símbolo:
-
significa "existe um elemento que pertence a ". -
significa "para todo elemento que pertence a ". -
significa "o número é menor ou igual ao número " (ordem usual em ).
Passo 4
Por que incluímos ambas as condições (pertencer a
e ser menor ou igual a todos)? Porque existe outra noção chamada “ínfimo” (menor limite) que exige apenas ser menor ou igual a todos os elementos sem necessariamente pertencer ao conjunto. Exemplo para clarear:
- Se
, então e para todo , logo é o mínimo. - Se
(peguei o conjunto de racionais entre e ), então não existe tal que para todo : qualquer candidato é positivo, mas podemos sempre achar outro racional em menor que (por exemplo, ), então não há mínimo. Nota: é um minorante (um limite inferior) mas , então não é mínimo.
Passo 5
Propriedade útil: se um mínimo existe, ele é único. Vamos provar de modo simples (passo a passo, como se eu estivesse na prova):
- Suponha que
e sejam ambos mínimos de . - Por ser mínimo, temos
(porque é a todo elemento, em particular a ). - Simetricamente, como
é mínimo, . - Pela propriedade da ordem em
, de e segue .
Logo há no máximo um mínimo; se existir, é único.
Passo 6
Dicas práticas para a prova (como mostrar que um conjunto tem ou não tem mínimo):
- Para provar que
é o mínimo de : mostre (a) e (b) para um elemento arbitrário (ou seja, “seja qualquer”), prove que . Essa prova do tipo “peguei um qualquer” é o modo padrão com quantificadores universais. - Para provar que
não tem mínimo: pegue um elemento qualquer e produza outro tal que . Se você consegue fazer isso para todo , então nenhum satisfaz a condição de ser a todos; logo não existe mínimo. - Lembre-se: mostrar que existe um “menor limite” (ínfimo) não basta — é preciso verificar pertença ao conjunto para garantir mínimo.