Seja A subconjunto de \mathbb{Q}. Resolva os seguintes itens:
(c) Mostre que \mathbb{Q} nāo é bem ordenado, isto é, existem em \mathbb{Q} subconjuntos nāo vazios, limitados inferiormente que nāo possuem elemento mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \mathbb{Q} não é bem ordenado. Ou seja:
  • Mostrar que existem subconjuntos A\subseteq\mathbb{Q} tais que A\neq\varnothing,
  • A é limitado inferiormente (existe um limite inferior b\in\mathbb{Q} com b\le a para todo a\in A),
  • mas A não possui elemento mínimo (não existe m\in A com m\le a para todo a\in A).
    O objetivo final é apresentar um exemplo concreto de conjunto em \mathbb{Q} que satisfaça essas três propriedades e, com isso, concluir que \mathbb{Q} não é bem ordenado.

Passo 2

Definições importantes (vou explicar devagar, sem pular etapas):
  • Limite inferior: um número b é um limite inferior de um conjunto S se, para todo s\in S, vale b\le s. Em símbolos: b é limite inferior de S quando \forall s\in S:\; b\le s.
  • Elemento mínimo: um elemento m\in S é mínimo de S se para todo s\in S temos m\le s. Em símbolos: m\in S e \forall s\in S:\; m\le s.
  • Bem ordenado: um conjunto é bem ordenado se todo subconjunto não vazio tem elemento mínimo. Portanto, para mostrar que \mathbb{Q} não é bem ordenado basta fornecer um subconjunto não vazio de \mathbb{Q} que seja limitado inferiormente e que não tenha mínimo.

Passo 3

Vamos escolher um candidato simples e intuitivo. Considere o conjunto
S=\{q\in\mathbb{Q}\mid q>0\}.
Explicando em palavras: S é o conjunto de todas as frações positivas (todos os racionais estritamente maiores que 0). Esse conjunto é bem conhecido e fácil de manipular — por isso é uma boa escolha para procurar uma contraprova.

Passo 4

Mostrando que S é não vazio:
  • Basta exibir um elemento de S. Por exemplo \tfrac{1}{2}\in\mathbb{Q} e satisfaz \tfrac{1}{2}>0, logo \tfrac{1}{2}\in S.
  • Conclusão: S\neq\varnothing.

Passo 5

Mostrando que S é limitado inferiormente:
  • Para todo s\in S temos, por definição, s>0. Então 0 é um número que satisfaz 0\le s para todo s\in S.
  • Como 0\in\mathbb{Q}, concluímos que 0 é um limite inferior racional de S. Portanto S é limitado inferiormente.

Passo 6

Mostrando que S não possui elemento mínimo:
  • Suponha, por contradição, que exista m\in S que seja mínimo de S. Então m\in\mathbb{Q} e m>0.
  • Considere o número m/2. Como m\in\mathbb{Q} e 2\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, segue que m/2\in\mathbb{Q} (a divisão de um racional por um inteiro não nulo é racional). Além disso m/2>0, então m/2\in S.
  • Mas m/2<m, o que contradiz a hipótese de que m era mínimo (pois havia em S um elemento menor que m).
  • Essa contradição mostra que não existe tal m. Logo S não tem elemento mínimo.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio:
  • Encontramos um conjunto S\subseteq\mathbb{Q} que é não vazio, tem limite inferior racional ( 0) e não possui mínimo.
  • Isso mostra explicitamente que nem todo subconjunto não vazio de \mathbb{Q} tem mínimo, ou seja, \mathbb{Q} não é bem ordenado.
  • Observação rápida útil para a prova: a mesma ideia vale para qualquer intervalo aberto em \mathbb{Q}, por exemplo S'=\{q\in\mathbb{Q}\mid 0<q<1\} também é não vazio, limitado inferiormente por 0 e não tem mínimo.

Resposta

Por exemplo, S=\{q\in\mathbb{Q}\mid q>0\} é não vazio, limitado inferiormente por 0 e não possui mínimo; portanto \mathbb{Q} não é bem ordenado.

Exercícios relacionados