Seja
subconjunto de
. Resolva os seguintes itens:
(c) Mostre que
nāo é bem ordenado, isto é, existem em
subconjuntos nāo vazios, limitados inferiormente que nāo possuem elemento mínimo.
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não é bem ordenado. Ou seja:
- Mostrar que existem subconjuntos
tais que , -
é limitado inferiormente (existe um limite inferior com para todo ), - mas
não possui elemento mínimo (não existe com para todo ).
O objetivo final é apresentar um exemplo concreto de conjunto emque satisfaça essas três propriedades e, com isso, concluir que não é bem ordenado.
Passo 2
Definições importantes (vou explicar devagar, sem pular etapas):
- Limite inferior: um número
é um limite inferior de um conjunto se, para todo , vale . Em símbolos: é limite inferior de quando . - Elemento mínimo: um elemento
é mínimo de se para todo temos . Em símbolos: e . - Bem ordenado: um conjunto é bem ordenado se todo subconjunto não vazio tem elemento mínimo. Portanto, para mostrar que
não é bem ordenado basta fornecer um subconjunto não vazio de que seja limitado inferiormente e que não tenha mínimo.
Passo 3
Vamos escolher um candidato simples e intuitivo. Considere o conjunto
Explicando em palavras:
é o conjunto de todas as frações positivas (todos os racionais estritamente maiores que
). Esse conjunto é bem conhecido e fácil de manipular — por isso é uma boa escolha para procurar uma contraprova.
Passo 4
Mostrando que
é não vazio:
- Basta exibir um elemento de
. Por exemplo e satisfaz , logo . - Conclusão:
.
Passo 5
Mostrando que
é limitado inferiormente:
- Para todo
temos, por definição, . Então é um número que satisfaz para todo . - Como
, concluímos que é um limite inferior racional de . Portanto é limitado inferiormente.
Passo 6
Mostrando que
não possui elemento mínimo:
- Suponha, por contradição, que exista
que seja mínimo de . Então e . - Considere o número
. Como e , segue que (a divisão de um racional por um inteiro não nulo é racional). Além disso , então . - Mas
, o que contradiz a hipótese de que era mínimo (pois havia em um elemento menor que ). - Essa contradição mostra que não existe tal
. Logo não tem elemento mínimo.
Passo 7
Conclusão final do raciocínio:
- Encontramos um conjunto
que é não vazio, tem limite inferior racional ( ) e não possui mínimo. - Isso mostra explicitamente que nem todo subconjunto não vazio de
tem mínimo, ou seja, não é bem ordenado. - Observação rápida útil para a prova: a mesma ideia vale para qualquer intervalo aberto em
, por exemplo também é não vazio, limitado inferiormente por e não tem mínimo.
Resposta
Por exemplo,
é não vazio, limitado inferiormente por
e não possui mínimo; portanto
não é bem ordenado.